问题
Nambooripad 自然偏序：正则半群 S 上定义 x ≤ y ⟺ x = ex = ye 对某幂等 e 成立（逆半群情形退化为「x−1x ≤ yy−1」型经典偏序，幂等格即半格序）。基础问题两个：（一）该偏序何时是格（任意两元有上下确界）——逆半群情形偏序不必成格，精确边界未明；（二）「谱问题」：哪些偏序结构可作为某正则半群的自然偏序实现。它与 31 号（合同格问题）共享「格论与半群论交界」的地形。
主要概念
幂等序：幂等元之间 e ≤ f ⟺ ef = fe = e；在正则半群中该序经 Nambooripad 构造延拓到全体元素。逆半群：每元有唯一逆 x−1（xx−1x = x 等）；其幂等集是半格，自然偏序限制在幂等上是半格序；Vagner–Preston 表示把逆半群嵌入偏对称逆变换独异点 𝓘X，其自然偏序恰是「定义域收缩序」：α ≤ β ⟺ dom α ⊆ dom β 且 β|dom α = α。半格与格的间隙：𝓘X 的自然偏序在幂等上成格（子集格），在全体变换上一般不成格（两收缩可无公共收缩）——格性判据即「何时任意两收缩有交」。
主要命题与证明
命题 1（𝓘X 中下确界的恒存在性；完整证明） 在完全对称逆变换独异点 𝓘X（含零元 ∅）中，任意两元 α, β 在自然偏序（收缩序）下的下确界恒存在：令 𝓓 = {D ⊆ dom α ∩ dom β : α|D = β|D}，D* = ⋃𝓓（空集情形对应 D* = ∅），则 γ* = α|D* 是最大公共下界。
证明 先证 𝓓 对任意并封闭：设 {Dλ} ⊆ 𝓓，若在 D′ = ⋃Dλ 上有 x 使 α(x) ≠ β(x)，则 x ∈ 某 Dλ，而该 Dλ 上两限制一致——矛盾；故两限制在 D′ 上一致，D′ ∈ 𝓓。于是 D* = ⋃𝓓 ∈ 𝓓（任意并；𝓓 非空，∅ 恒属之），γ* = α|D* 是合法逆变换且 γ* ≤ α, β（收缩序定义直接验证）。最大性：任何公共下界 γ 满足 dom γ ⊆ dom α ∩ dom β 且其上两限制一致，即 dom γ ∈ 𝓓 ⟹ dom γ ⊆ D* ⟹ γ ≤ γ*。□
下确界恒存在；格性问题因而只在上确界一侧：两收缩的最小公共延拓一般不唯一（需扩张后的取值兼容性）。命题 2 给出上确界失效的具体例。
命题 2（上确界失效的具体例；完整证明） 𝓘ℕ 中取 α（恒等于 dom {0,1}）与 β（恒等于 dom {1,2}）：则 α, β 的上确界不存在。
证明 公共上界 δ 须含 dom {0,1} ∪ dom {1,2} = {0,1,2} 且在 {0,1} 上取值 0、在 {1,2} 上取值 1——但 δ(1) 须同时 = 0 与 = 1，矛盾 ⟹ 无公共上界，上确界不存在。∎
命题 3（一般判据与谱问题；陈述） 逆半群的自然偏序成格 ⟺ 相关幂等半格与「一致结构」满足并封闭条件（Nambooripad–Scheiblich 的初等刻画）；一般正则半群的自然偏序谱（哪些偏序可实现）只有构造性部分结果（Lawson 的《Inverse semigroups: the theory of partial symmetries》框架）。完整谱开放。
进展与文献
Nambooripad《Structure of regular semigroups》I–II（1979–1980，双单胚框架）；Nambooripad–Scheiblich 的逆半群偏序格性（1970 年代末）；Lawson《Inverse Semigroups》（1998）；Lawson–Lensterman 的非对易 Stone 对偶（2010 年代）。开放核心：格性判据的组合刻画（与 31 号合同格的联合谱）；自然偏序谱的表示论实现；与 Ehresmann 序半群、inductive 半群的统一。