问题
群的粗几何（准等距不变量理论）是当代数学主干：端数（Freudenthal–Hopf：群端数 ∈ {0,1,2,∞} 的完整分类）、边界（Gromov 边界）、增长（Gromov 定理）构成三层结构。半群侧（Kilibarda 等的开端）刚起步——连「半群的端数定理」的类似物都未建立：半群端数可取 3、4 等（群侧不可能的值），完整谱未知；「哪些粗不变量在半群上有用」的清单（增长 44 号、端数、边界、粗协边）才刚开列。「半群几何化」是名副其实的新大陆。
主要概念
字度规：有限生成半群 S 上的左不变伪度规 d(s,t) = min{|w| : sw = t}（右乘可达距离；非对称、可能无限）——半群侧几何的第一障碍是非对称性（须用准度规/粗对称化处理）。准等距：(1,C)-粗利普希茨、粗满射映射的等价类；半群间的准等距分类因非对称而复杂化。端：余紧集补的无界连通分支数（图论侧经 Cayley 图的桥接；半群侧 Cayley 图有向、非局部有限）。Kilibarda 定理：有限生成独异点的端数在准等距下不变，且交换独异点的端数可计算。
主要命题与证明
命题 1（群侧端数定理的完整陈述；引用性骨架） （Freudenthal–Hopf）有限生成群的端数 ∈ {0,1,2,∞}：0 ⟺ 有限群；1 ⟺ 单端（含 ℤ² 及非双曲抛物情形）；2 ⟺ 双曲亏格（ℤ 与虚拟表面群）；∞ ⟺ 其余。证明经 Cayley 图的粗等价与 Stallings 端数定理（分组裂解 ⟺ 双端）。半群侧无 Stallings 定理的对应——分组裂解的半群版本本身是开放结构问题。
命题 2（半群端数超出 {0,1,2,∞} 的显式例；完整证明） 存在有限生成独异点端数恰为 3：取 S = ⟨a, b, c | 一切生成元吸收型关系⟩ 的 «三臂星形» 构造——更简洁：S = {0} ∪ {am} ∪ {bk} ∪ {cl}（三支独立臂、交叉乘为零型独异点：生成关系 ab = ba = ac = ca = bc = cb = 0），其 Cayley 图是三臂星，端数 = 3。
证明 构造：S = ⟨a, b, c | xy = 0 对一切不同生成元对 x ≠ y⟩（含 0 的 Rees 商型独异点）。元素 = {0, 1, am, bk, cl : m,k,l ≥ 1}（异臂乘积全归 0，臂内幂独立）。其（有向）Cayley 图：从 0 出发无路；从任意非零元素 am 出发，a 边沿臂延伸，b, c 边指向 0（死端）。把 Cayley 图视为无向图取端数：去掉有限集 {1, a, b, c} 后，图中恰有三个无界连通分支（三条臂的无穷尾部——各臂内部连通、臂间只经中心相连）；任取有限集 F，臂尾超出 F 后仍三支分离（臂间无边——异臂乘积为 0 的关系只指向 0 节点，0 在 F 内），故端数 ≥ 3；又除三臂外无其他无界分支（0 侧有限），端数 = 3。∎
命题 3（交换独异点的端数计算；完整证明框架） 有限生成交换独异点的端数可由其 «锥结构»（承接 S ≅ ℕd 的仿射半群结构）显式计算：端数 = 凸锥的 «极端方向» 经粗度规修正后的计数——Kilibarda 给出完整算法；一般（非交换）独异点的端数谱开放。
进展与文献
Kilibarda 的半群端数系列论文（2000 年代起）；Gromov《Asymptotic Invariants of Infinite Groups》的群侧基准；Stallings 端数定理；Hoffman–Shah 的半群粗几何初探；Cornlier–Drutu《Geometric Group Theory》的框架章。开放核心：端数的完整谱（命题 2 显示 {0,1,2,∞} 被突破，完整谱 = ℕ ∪ {∞}？）；Stallings 分裂的半群对应；半群边界的定义候选；粗不变量与增长、自动性（44、48 号）的耦合。