本册定位（九册开篇）。 《代数学基础（下）》第四章把「域」从第二章的一个例子升格为研究对象，第一件事就是问：给一个域 F 和一个多项式，能不能在更大的域里把根造出来？本册要回答这个问题的最古老也最具体的那一半：从 ℚ 出发，一路往上垒到 ℂ——这条「数域的塔」正是代数数论的领地。我们会把 ℂ 里的数分成两岸（代数数与超越数），会看到每个代数数都自配一个「极小多项式」当身份证，会造出 ℚ(√2)、ℚ(√−5)、ℚ(ζ5) 这些数域，并逐一算清它们的代数整数环、范数与单位。
〇系列地图：九册读本与第四章的接口
本系列为第四章「域的扩张」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：
其二 域的自同构群——Aut(F) 与 F-自同构：固定基域的对称，是伽罗瓦理论的起点（接口：§5.2 域的嵌入）。
其三 极小多项式与扩域构造法——F[x]/(p(x)) 这台「造域机器」的完整操作手册：不可约判定、单扩张、本原元（接口：§4.1 单扩张）。
其四 尺规作图的域论解释——可作图数恰是从 ℚ 出发的二次塔，三大作图难题的死因在此（接口：§5.8 尺规作图）。
其五 ℝ 上一元多项式的分裂域——分裂域的存在唯一性、正规性与实闭域（接口：§4.3 分裂域）。
其六 伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华，基本定理的陈述与正规子群对应（接口：§5.4 基本定理）。
其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标独立性、Kummer 理论与 Hilbert 90（接口：§5.3 域的嵌入）。
其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽q 的完整解剖：存在唯一、循环乘法群、子域格与不可约多项式计数（接口：§4.4 有限域）。
其九 范畴论中的域——Field 范畴无自由对象、无零对象，域的绝对伽罗华群是一台 profinite 机器（接口：§4.1 的重述）。
本册（其一）是这条链的起点与地标：它先把「域可以往上长」这件事在数上演示一遍，后面的八册才有一片熟悉的试验田。
一从 ℚ 出发：为什么要「扩」
课本第一章给出域的定义后，第一个例子是 ℚ，第二个是 ℤ/pℤ。这两个域有一个共同点，也有一个决定性的不同：
共同点——它们都是素域。 素域是「不含真子域」的域。一个域若特征为 0，它必包含 ℚ 为其唯一素子域；若特征为 p，它必包含 𝔽p = ℤ/pℤ 为其唯一素子域。换言之，域论里只有两种起跑线：ℚ 与 𝔽p。本册走 ℚ 这一支，其八走 𝔽p 那一支。
不同点——ℚ 里许多方程无解。 最经典的例子是 x2 − 2 = 0。ℚ 里没有它的根，因为若 (p/q)2 = 2（p, q 互素），则 p2 = 2q2，左端 p2 的 2-进指数为偶数、右端为奇数，矛盾。这正是「域不够大」的第一声警报。
于是域论的核心动作登场：造一个更大的域，把根塞进去。 对 x2 − 2，我们想要一个域，它包含 ℚ，又包含一个元素 α 满足 α2 = 2。最小这样的域记作 ℚ(√2)，元素形如 a + b√2（a, b ∈ ℚ）。这就完成了一次「扩张」，且它是单扩张——只加一个元素就够。
本册的路线图。 一次扩张不满足，就再扩一次；再不够，再扩。所有从 ℚ 出发的有限扩张叠起来，就是代数数的世界；再加上超越数，就是整个 ℂ。本册要做的，就是沿着 ℚ ⊂ ℚ(√2) ⊂ ℚ(√2, √3) ⊂ ⋯ ⊂ ℚ̄ ⊂ ℂ 这条链走一遍，并把每一步的「算术内容」（整数环、范数、单位）算清楚。
二代数数与超越数：ℂ 的两岸
定义 2.1（代数数）。 设 α ∈ ℂ。称 α 为代数数，若存在非零多项式 f ∈ ℚ[x] 使 f(α) = 0。否则称 α 为超越数。全体代数数记作 ℚ̄。
定理 2.2（代数数构成域）。 设 α, β 是代数数，则 α ± β、αβ、α/β（β ≠ 0）都是代数数。换言之 ℚ̄ 是 ℂ 的子域，且是 ℚ 的代数闭包。
证明的思路（域论的第一次展示）。 关键一步是把「α 代数」翻译成「ℚ(α)/ℚ 是有限维向量空间」。若 [ℚ(α):ℚ] = m、[ℚ(β):ℚ] = n，则 ℚ(α, β) 中每个元素都能写成 ⋃ αiβj（0 ≤ i < m，0 ≤ j < n）的 ℚ-线性组合，故 [ℚ(α, β):ℚ] ≤ mn 有限。而 α + β、αβ 都落在 ℚ(α, β) 这个有限扩张里，落在一个有限扩张里就意味着代数。□
定理 2.2 是域论里最优雅的一步：它把「代数数」从一个「逐个方程」的概念，升级为一个「向量空间维数有限」的概念。这一步的精神——用有限维向量空间给代数的东西打包——贯穿全章。
ℂ 的两岸有多大？ 这是一段令人震惊的历史：
- 可数岸：ℚ̄ 是可数的。 每个代数数都对应一个以有理数为系数的多项式，而这样的多项式只有可数多个（ℚ[x] 与 ℕ 等势），每个多项式只有有限个根。有限 × 可数 = 可数，故 |ℚ̄| = ℵ0。
- 不可数岸：ℂ 是不可数的。 由 Cantor 的对角线论证，|ℂ| = 2ℵ0 > ℵ0。
结论：几乎所有复数都是超越数。 代数数只占 ℂ 的一个可数子集，测度为 0；超越数才是 ℂ 的「绝大多数」。可是——几乎所有的超越数，我们一个具体的例子都难举。这种「数量上压倒、举例上贫瘠」的张力，是 19 世纪分析学的著名景观。
历史的三个节点。 ① Liouville 1844 第一次构造出超越数：形如 ∑ 10−n! 的「Liouville 数」；其构造原理是「代数数不能被有理数逼近得太快」，Liouville 数却能被逼近得任意快。② Hermite 1873 证明 e 超越；③ Lindemann 1882 证明 π 超越，并顺带终结了两千年悬案——化圆为方不可能（原因见其四：若 π 代数则 π 可作图，而 π 超越故不可）。Cantor 的基数论证（1874）则在概念层面宣告「超越数是常态」。
数值注记（A 组）。 脚本 A 组用整数平方判据（isqrt）验证 √2、√3、√5、√6、√7 的无理性：若 n 不是完全平方，则 √n 无有理根。这是「x2 − n 在 ℚ 不可约」的初等判据，也是本册一切扩张的起手式。
三单扩张与极小多项式：ℚ(α) 怎么造出来
定义 3.1（单扩张）。 设 F 是域，α 属于 F 的某个扩域。F(α) 定义为「包含 F 与 α 的最小子域」；若 F(α) = F(α1, …, αn)，则称 F 上加有限个元素生成的扩张。
造域的正确姿势不是「猜元素长什么样」，而是用一台机器：
定理 3.2（单扩张同构定理）。 设 F 是域，p(x) ∈ F[x] 是不可约多项式。则 F[x]/(p(x)) 是域，且它是 F 的单扩张：其中 x̄ = x + (p) 满足 p(x̄) = 0。特别地，对任意代数元 α，记 irr(α, F) 为 α 在 F 上的极小多项式（首一、不可约、以 α 为根、次数最小），则
F(α) ≅ F[x]/(irr(α, F))， [F(α) : F] = deg irr(α, F)。
这条定理把「造域」化简为「挑一个不可约多项式」。它是其六与伽罗华理论全套机器的引擎，本册后续所有具体数域都由它产出。
例 3.3。 ① ℚ(√2) = ℚ[x]/(x2 − 2)，次数 2。② ℚ(∛2) = ℚ[x]/(x3 − 2)，次数 3（x3 − 2 在 ℚ 不可约，因它无有理根）。③ ℚ(ζ5)，ζ5 = e2πi/5，极小多项式是分圆多项式 Φ5(x) = x4 + x3 + x2 + x + 1，次数 4——这就是其八 φ(5) = 4 的由来。
次数如何相乘（塔律）。 若 F ⊂ K ⊂ L 是有限扩张，则 [L : F] = [L : K]·[K : F]。这条看似平淡的公式是全章最有威力的工具：它立刻给出「整除关系」——中间域 K 的次数必整除顶端次数。其四正是靠它证明「3 次扩域造不出 ∛2 的 60° 角三等分」。
数值注记（D 组）。 脚本 D 组验证 ℚ(ζ5) 的次数为 4：Φ5 = x4 + x3 + x2 + x + 1 在 ℚ 上不可约（用艾森斯坦代入 x + 1 后判定），且 ζ5 满足 Φ5(ζ5) = 0（用 (ζ5−1)/(ζ−1) = 0 数值核对）。
四代数整数环：ℤ 在数域里的化身
数域 K 就是 ℚ 的有限扩张。要谈数域里的「算术」（整除、素数、唯一分解），必须先确定「谁是整数」。
定义 4.1（代数整数）。 α ∈ ℚ̄ 称为代数整数，若它是某个首一整系数多项式 f ∈ ℤ[x] 的根。数域 K 的代数整数环记作 OK = K ∩ {代数整数}。
两条基本事实。 ① 代数整数对加、乘封闭，故 OK 是 K 的子环（一般不是域）。② OK ∩ ℚ = ℤ——所以「代数整数」确实是 ℤ 在 K 里的推广。③ α 是代数整数 ⟺ irr(α, ℚ) 的系数全是整数（这是最常用的判据）。
OK 的角色。 在有整数环之前，「整除」在 K 里是无根的（任何非零元都整除任何元）。有了 OK，我们才能问：K 里有没有「唯一分解」？答案出人意料——常常没有，而这个失败正是代数数论诞生的原因。
理想的救赎（预告）。 Kummer 与 Dedekind 发现，OK 里数的唯一分解虽然会崩，但理想的唯一分解总是成立（Dedekind 整环）：每个非零理想唯一分解为素理想的乘积。理想类群 Cl(K) 度量「唯一分解偏离多少」，它的阶 hK 称为类数。hK = 1 ⟺ OK 是唯一分解环。本册第五节会给出 h = 2 的最小例子。
五二次域：最亲近的一族数域
二次域是形如 K = ℚ(√d) 的数域，其中 d 是无平方因子的整数（d ≠ 0, 1）。它是次数最低的非平凡数域，也是唯一能完全手算的一族——本册的主战场。
定理 5.1（二次域的整数环）。 设 d 无平方因子，K = ℚ(√d)。则
OK = ℤ[√d]，当 d ≡ 2, 3 (mod 4)；
OK = ℤ[(1 + √d)/2]，当 d ≡ 1 (mod 4)。
判别式相应为 Δ = 4d（前者）与 Δ = d（后者）。
「d ≡ 1 (mod 4)」这条怪规则的来历：ω = (1 + √d)/2 满足 ω2 − ω + (1 − d)/4 = 0，要它整系数，需 (1 − d)/4 ∈ ℤ，即 d ≡ 1 (mod 4)。这就是 ℚ(√−3) 的整数环含 (1 + √−3)/2 而 ℚ(√−1) 的整数环只是 ℤ[i] 的原因。
数值注记（B 组）。 脚本 B 组对 d = −1, −2, −3, −5, −7, 2, 3, 5, 13, 17 逐一列出 OK 形态与判别式，并与「d mod 4」判据逐项核对：d = 5, 13, 17 ≡ 1 (mod 4) 一律走 (1+√d)/2 支；d = 2, 3, −1, −2, −3, −5, −7 走 √d 支。表中最能记住的两行是：ℚ(√5) 的环是 ℤ[(1+√5)/2]（含黄金比），ℚ(√−3) 的环是 ℤ[(1+√−3)/2]（含三次单位根）。
例 5.2（唯一的两个「虚二次 Euclid 域」以外的世界）。 虚二次域 ℚ(√−d)（d > 0）中，只有 d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67, 163 这九个是唯一分解环（Heegner–Baker–Stark 定理，1966/67 完成）。这个「恰好九个」的结论，是数论里最著名的有限性定理之一——它说明「唯一分解」在虚二次域中极为稀有。
六范数、单位与 Pell 方程
定义 6.1（范数）。 对二次域 K = ℚ(√d)，元素 α = a + b√d（a, b ∈ ℚ）的范数与迹定义为
N(α) = a2 − d b2， Tr(α) = 2a。
它们分别是 α 与它的共轭 ᾱ = a − b√d 的积与和。范数是乘性的：N(αβ) = N(α)N(β)。这条乘性是二次域算术的全部发动机。
α ∈ OK 是单位 ⟺ N(α) = ±1。 于是「求单位」就化成解丢番图方程：
- 对 ℤ[√2]：a2 − 2b2 = ±1，即 Pell 方程 x2 − 2y2 = ±1。
- 对 ℤ[i]：a2 + b2 = 1，解只有 ±1, ±i——四个单位，ℤ[i] 的单位群是 C4。
- 对 ℤ[√−5]：a2 + 5b2 = ±1，只有 ±1——单位群极小，这预示着它的类数不为 1。
定理 6.2（Pell 方程与连分数）。 x2 − d y2 = ±1 的全部正整数解，由 √d 的连分数收敛子 pn/qn 给出：pn2 − d qn2 在收敛子处取 ±1。ℤ[√d] 的单位群由最小单位 ε = p + q√d 生成：U(ℤ[√d]) = {±εn : n ∈ ℤ}。
数值注记（C 组、F 组）。 脚本 C、F 两组用连分数算出 √2 的收敛子序列 1/1, 3/2, 7/5, 17/12, 41/29, 99/70, 239/169, 577/408, …，核对其中每一个都满足 x2 − 2y2 = ±1（如 172 − 2·122 = 289 − 288 = 1，5772 − 2·4082 = 332929 − 332928 = 1）。同时脚本验证 3/2、7/5、… 逐项逼近 √2 的误差严格递减，这正是《九章》与祖冲之「密率」所依赖的同一套逼近机制。
例 6.3（ℚ(√−5) 的崩塌）。 在 ℤ[√−5] 里：
6 = 2 · 3 = (1 + √−5)(1 − √−5)。
两组分解都用到不可约元，却给出不同的结果——唯一分解失败。根源是 2 与 3 不再是素元：2 整除 (1+√−5)(1−√−5) = 6，却不整除任一因子。用范数看：N(2) = 4、N(1 ± √−5) = 1 + 5 = 6，而 4 不能整除 6，故 2 ∤ (1 ± √−5)。这个「范数整除」的判据，是检查唯一分解全部关键步骤的最快方式。
七从《九章》「开方术」到代数数论
「造一个含 √2 的域」这件事，中国古算早就在做，只是语言不同。
《九章算术》开方术。 「少广」章开平方术写道：「若开之不尽者，为不可开，当以面命之。」——如果开方开不尽，就「以面命之」，即以「面」（边长）本身作为这个数。这等于说：∛、√ 开不尽时不必化为十进小数，可以「把它本身当数用」。这就是形式地引入根号的思想，与现代「ℚ(√2) 是新数域」在精神上完全一致——刘徽注更进一步，用「微数」（十进逼近）去算 √2 的近似值。
刘徽的「割圆」与逼近。 刘徽用正 192 边形算出 π ≈ 3.141024（割圆术），祖冲之则给出密率 355/113 = 3.14159292…，与 π 的误差不足 3 × 10−7。用连分数看，355/113 正是 π 的一个极佳收敛子——它是「有理逼近」的东方高峰，与本册第六节 Pell 方程的连分数机制同出一源。
从「以面命之」到代数数论。 中国古代停留在「把 ∛2 当成一个可运算的对象」，但没有走到「问这个数与有理数的关系是什么」（即把 √2 的代数性、共轭、范数组织成理论）。欧洲在 19 世纪把这一步走完了：Dedekind 用理想、Kummer 用理想数、Minkowski 用几何数论，把「开不尽的方根」编织成数域的算术理论。同一条直觉，一边止步于「记法」，一边长成了「结构」——这正是抽象代数把古算提升为现代学科的价值所在。
八术语考古、三句话与阅读指引
8.1 名词与历史的来路
- algebraic number（代数数）。 拉丁 algebra 源自阿拉伯 al-jabr；「代数数」一词由 Dedekind 与 Weber 在 1882 年的函数论论文中正式使用，指「某个非零多项式的根」。其反面 transcendental（超越）来自拉丁 transcendere「跨越」，由 Leibniz 1673 首先用于「非代数」的函数。
- number field（数域）。 德语 Zahlkörper，Dedekind 造词；指 ℚ 的有限扩张。中文「数域」即「数的域」，强调它由数而非任意抽象对象构成。
- ring of integers（整数环）。 OK 的记号来自 Dedekind，他把「代数整数」定义为整系数首一多项式的根，从而把 ℤ 的算术迁移到任意数域。O 的写法源于 order（序），本指二次域里像 ℤ[√d] 这样的一类子环。
- discriminant（判别式）。 拉丁 discriminare「区分」：判别式是用来「区分」多项式根是否相重的量。对二次域 K，Δ 是域的不变量，其小素数分解决定 K 的「分歧」（ramification）行为。
- class group / class number（理想类群 / 类数）。 Dedekind 与 Kronecker 引入：理想类群 = 分式理想模主理想的商群，类数 hK = |Cl(K)|。hK = 1 就是「唯一分解成立」。
- Pell equation（Pell 方程）。 名字是一场历史误会：欧拉误把 Brouncker 的解法归给 Pell。方程本身早在公元前 3 世纪由印度与希腊人研究；印度 Brahmagupta 在 628 年已给出 x2 − d y2 = 1 的解法。
- transcendental number（超越数）。 Liouville 1844、Hermite 1873、Lindemann 1882 三步走进历史；Lindemann 定理（π 超越）直接判了「化圆为方」死刑。
8.2 三句话总结
① 从 ℚ 到 ℂ 的旅途分两段：代数数（可数、每个都有一张首一多项式身份证）与超越数（不可数、几乎全部、却极难举例）；而代数数全体 ℚ̄ 自身就是一个域，这一条靠「有限维向量空间」打包证明。
② 造域的正规机器是 F(α) ≅ F[x]/(irr(α, F))——挑一个不可约多项式即可；次数相乘（塔律）随后给出一切「能不能造」的整除判据。
③ 二次域是唯一能完全手算的一族：整数环由 d mod 4 决定，算术由范数 N(a+b√d) = a2 − db2 驱动，单位来自 Pell 方程；而 ℚ(√−5) 里 6 = 2·3 = (1+√−5)(1+√−5) 的崩塌，宣告唯一分解在数域中并不普遍——这正是其八的 hK = 1 与素理想分解理论的起点。
8.3 阅读指引
- 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§4.1（单扩张）、§4.2（有限扩张）、§4.3（分裂域）——本册每节的「教材接口」即回指这些位置。
- 数域与代数数论入门：D. A. Marcus, Number Fields（Springer）第 2、3 章；S. Lang, Algebraic Number Theory（Springer GTM 110）第 I 章（二次域专章）。
- 超越数与 Liouvilie 逼近：A. Baker, Transcendental Number Theory（Cambridge），第 1、2 章；历史脉络见 M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times 第 40 章。
- 虚二次域九类唯一分解：H. M. Stark, "A complete determination of the complex quadratic fields of class-number one", Michigan Math. J. 14 (1967)；Heegner 1952 的原始证明与 Baker 1966 的独立证明可对照阅读。
- 中国古算：《九章算术》少广章「开方术」与刘徽注（郭书春《九章算术译注》）；祖冲之密率与连分数的现代解释见吴文俊主编《中国数学史大系》第二卷。
《代数学基础（下·第 2 版）》第四章补充读物 · 域论专题读本其一 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026