围绕《抽象代数（下）：环与域》域论部分逐章外延的九册专题读本——每一册把域论的一束光打向一个具体现场：从 ℚ 到 ℂ 的领地、域的自同构群、极小多项式与扩域构造法、尺规作图、分裂域、伽罗华扩域、域在 Abel 群上的作用、有限域、范畴论中的域。本套聚焦域的基本问题与实例，为伽罗瓦理论专册铺路；各册文末均附可直接运行的数值探索脚本，读、算互证。点击「在线阅读」即可在浏览器中直接翻阅 HTML 版，数学式与上下标按 TeX 体例排版。
哪些数是代数数、哪些是超越数？ℚ 的代数闭包可数而 ℝ 不可数——超越数远多于代数数；单扩张 ℚ(α)、代数整数、二次域 ℚ(√d) 的范数把 Pell 方程变成乘法算术。
Aut(ℚ) 与 Aut(ℝ) 平凡、Aut(ℂ) 只有两元；而相对自同构群 Aut(K/F) 却可以很大——分圆域的自同构群同构于 (ℤ/n)×，有限域由 Frobenius 一人生成。自同构就是域的「对称性」。
模掉一个不可约多项式就造出新域：F[x]/(p(x))；四把不可约判别刀、塔律 [K:F]=[L:F][K:L]、本原元 √2+√3 一次生成整个扩域，𝔽₄ 与 𝔽₉ 就地构造。
可作图数恰是二次塔里的数：Wantzel 定理一锤定音，立方倍积、三等分角、化圆为方全部封锁；正 n 边形可作当且仅当 n 是 2 的幂与费马素数之积——高斯 17 边形就此读懂。
Kronecker：任何实系数多项式在 ℂ 里分裂——代数基本定理的域论讲法；再往深处走：正规扩张、实闭域与 Artin–Schreier 定理、Descartes 符号法则与 Sturm 定理把根数清楚。
Artin 特征标独立性的两个直推：Hilbert 90 与加性版本；Kummer 扩张用 Abel 群的语言解 xⁿ = a，Artin–Schreier 处理特征 p，Kronecker–Weber 把所有 Abel 扩张收进分圆域。
小到可以枚举的世界：q 元有限域存在且唯一、乘法群必循环、子域格由 m | n 定、不可约多项式个数有 Möbius 闭公式；Wedderburn 小定理、AES 与 RS 码——有限域每天都在运行。
域是范畴论里的「钉子户」：同态必单射、无初始也无终对象、没有自由域、直积与张量积都不封闭；但绝对伽罗华群 G_F = lim Gal(K/F) 把整个域编码成一个 profinite 群。