本册定位。 前五册把「造域」与「数对称」这两条线各走到了尽头：其三给出了造域机器，其五给出了分裂域（正规扩张的原型），其二给出了自同构群与不等式 |Aut(K/F)| ≤ [K:F]。本册要做的是让这条不等式取等号。取等号的条件只有两条——正规（其五：根对共轭封闭）与可分（本册第二节：根互不重复）；两条合起来就是伽罗华扩张。一旦取等号，域与群之间就架起一部精确的双向字典：中间域 ↔ 子群，次数 ↔ 指数，正规扩张 ↔ 正规子群——此即伽罗华基本定理。本册只讲这部字典的建立与查阅（对应、阶数、正规性），不讲它的最高潮（可解群与根式解）——那部分将独立成册《伽罗华理论》。
〇系列地图：九册读本与第五章的接口
本系列为第五章「伽罗瓦理论」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：
其一 从 ℚ 到 ℂ：代数数论的领地（接口：§4.1、§4.2）。
其二 域的自同构群——|Aut(K/F)| ≤ [K:F] 的提出（接口：§5.2）。
其三 极小多项式与扩域构造法——造域机器 F[x]/(p)（接口：§4.1）。
其四 尺规作图的域论解释——可作图数 = 二次塔（接口：§5.8）。
其五 ℝ 上一元多项式的分裂域——正规扩张的原型（接口：§4.3）。
其六（本册）伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华，基本定理的字典（接口：§5.4 基本定理）。
其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标、Kummer 理论、Hilbert 90（接口：§5.3）。
其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽q 是天然的分裂域（接口：§4.4）。
其九 范畴论中的域——绝对伽罗华群（接口：§4.1 的重述）。
本册与「伽罗华理论独立册」的分工：本册只搭台（对应与字典），独立册才唱戏（可解群与根式解）。 这是本书特别划定的边界。
一伽罗华扩张：三个条件的合流
定义 1.1（伽罗华扩张）。 有限扩张 K/F 称为伽罗华扩张（Galois extension），若它同时满足：① 可分；② 正规。等价地（本册第三节证明）：|Aut(K/F)| = [K:F]。此时 Aut(K/F) 记作 Gal(K/F)，称为 K/F 的伽罗华群。
三个条件的分工。 把定义拆开来看，每条各管一件事：
- 有限：保证 [K:F] 是个数，好和 |Gal| 相比。
- 正规其五定义：「有一个根就有一窝」——保证 Gal 的作用足够丰富（根都留在 K 内可供搬运）。
- 可分本册第二节：保证「一窝根个个不同」——保证 Gal 的元素足够多（不会因重根而丢失自同构）。
缺任何一条，等式 |Aut| = [K:F] 就会破。其二的 ℚ(∛2)/ℚ 缺正规（Aut 只有 1），下面第二节的纯粹不可分扩张缺可分（Aut 也只有 1）。
例 1.2（伽罗华 vs 非伽罗华的清单）。
K/F | [K:F] | Aut(K/F) | 伽罗华？ | 缺哪条 |
|---|---|---|---|---|
ℚ(√2)/ℚ | 2 | C2（阶 2） | 是 | — |
ℚ(√2,√3)/ℚ | 4 | C2×C2（阶 4） | 是 | — |
ℚ(ζ5)/ℚ | 4 | C4（阶 4） | 是 | — |
ℚ(∛2)/ℚ | 3 | 1（阶 1） | 否 | 正规 |
𝔽p(t1/p)/𝔽p(t) | p | 1（阶 1） | 否 | 可分 |
数值注记（A 组）。 脚本 A 组给出伽罗华判定表：逐条比较 |Aut| 与 [K:F]，对 ℚ(√2)、ℚ(√2,√3)、ℚ(ζ5) 两数相等（伽罗华），对 ℚ(∛2) 严格小于（非伽罗华）。
二可分性：什么时候根会重复
可分性是可被忽视、却致命的那一条。它问的是：极小多项式的根会不会「重」？
定义 2.1（可分）。 f ∈ F[x] 称为可分，若 f 在代数闭包中无重根。代数元 α 称为可分，若 irr(α, F) 可分。扩张 K/F 可分，若每个 α ∈ K 都可分。
定理 2.2（导数判据）。 f 无重根 ⟺ gcd(f, f′) = 1（f′ 是 f 的形式导数）。
证明梗概. α 是 f 的重根 ⟺ f(α) = f′(α) = 0 ⟺ (x − α) 整除 gcd(f, f′)。故无重根 ⟺ gcd 为常数 1。□
特征 0 的好消息。 设 F 特征 0，f 次数 n ≥ 1。则 f′ 次数 n − 1 ≥ 0，且 f′ ≠ 0；若 f 不可约则 f ∤ f′（次数低），故 gcd(f, f′) = 1。于是特征 0 的域上，一切代数扩张都自动可分。 对 ℚ 的一切扩域，可分性免费。
特征 p 的坏消息。 设 F 特征 p。可能出现 f′ ≡ 0（当 f 只含 xp 的幂次），此时 gcd(f, f′) = f ≠ 1。最著名的例子是未完美元（imperfect field）上的纯不可分扩张：
𝔽p(t1/p)/𝔽p(t)，
t1/p 的极小多项式 xp − t 满足 (xp − t)′ = p xp−1 = 0，于是 xp − t = (x − t1/p)p——只有一个根（重数为 p）。故 Aut = 1，而 [K:F] = p。
可分性的另一刻画。 K/F 可分 ⟺ K/F 的 F-嵌入数 = [K:F]（其二定理 7.2）。于是伽罗华条件可重述为：嵌入数 = 次数（可分）且每个嵌入都落在 K 内（正规）——两条一起，正好是 |Aut| = [K:F]。
数值注记（B 组）。 脚本 B 组用有理系数多项式的 gcd 引擎核验：x2 − 2、x3 − 2、x5 − 1 都与各自导数互素（在 ℚ 上可分）；并展示特征 p 中 (xp − t)′ = 0 的情形（用符号说明）。
三主定理 |Aut(K/F)| = [K:F]
把正规与可分合起来，就得到伽罗华扩张的核心等式。
定理 3.1（伽罗华等价刻画）。 设 K/F 有限。则 K/F 伽罗华 ⟺ |Aut(K/F)| = [K:F]。
两个方向的直觉。
- 「伽罗华 ⟹ 等号」：可分 ⟹ F-嵌入恰有 [K:F] 个（其二定理 7.2）；正规 ⟹ 每个嵌入都落在 K 内（因为嵌入把 K 的元送到其共轭，正规保证共轭仍在 K）。故嵌入 = 自同构，个数 = [K:F]。
- 「等号 ⟹ 伽罗华」：见 Artin 定理（第四节）与可分性判据。
Artin 定理（固定域界的下界）。 设 G 是 K 的有限自同构群，F = KG = {x ∈ K : ∀σ ∈ G, σ(x) = x}（固定域）。则 [K : KG] 恰为 |G|。这条定理是「等号」方向的引擎：它说「给一个自同构群，它的固定域扩张次数恰等于群的阶」。
数值注记（C 组）。 脚本 C 组核对等号：ℚ(√2,√3)/ℚ 的 Gal 是 V4（阶 4），[K:ℚ] = 4，等号成立，故伽罗华；而 ℚ(∛2)/ℚ 不成立。
四伽罗华基本定理：中间域与子群的字典
现在到本册的正题：把「域的问题」翻译成「群的问题」。
定理 4.1（伽罗华基本定理）。 设 K/F 是有限伽罗华扩张，G = Gal(K/F)。则在
{中间域 E : F ⊆ E ⊆ K} ⟷ {子群 H ≤ G}
之间存在反序的一一对应，由
E ↦ H = Aut(K/E) = Gal(K/E)， H ↦ E = KH = {x ∈ K : ∀σ ∈ H, σ(x) = x}
给出。并且对应两侧还有如下数值翻译：
- 域的次数 ↔ 群的指数：|H| = [K : E]，[G : H] = [E : F]。
- 塔的复合：E ⊆ E′ ⟺ H ⊇ H′（反序）。
- 正规性：E/F 是正规扩张 ⟺ H = Gal(K/E) 是 G 的正规子群；此时 Gal(E/F) ≅ G/H。
为什么是「反序」？ 域 E 越大（越靠近 K），能固定住 E 的自同构越少（H 越小）。故「大域 ↔ 小子群」，反序。
为什么要「伽罗华」？ 只有 |Gal| = [K:F] 时，「子群的个数与阶」才恰好够用去数中间域。非伽罗华扩张（如 ℚ(∛2)/ℚ）对应会崩：G 太小子群太少，而中间域数对应不上——这正是其二的 ℚ(∛2)/ℚ 无法谈基本定理的原因。
数值注记（D、E 组）。 脚本 D 组枚举 V4 的 5 个子群，与 ℚ(√2,√3)/ℚ 的 5 个中间域（ℚ、ℚ(√2)、ℚ(√3)、ℚ(√6)、K）逐一对上；E 组枚举 S3 的 6 个子群，与 ℚ(∛2,ω)/ℚ 的 6 个中间域对上。
五正规子群与正规扩张的对应
基本定理里最有用的一条是「正规性对应正规性」。
定理 5.1（正规对应）。 在定理 4.1 的字典下：
E/F 是正规扩张（等价于 E/F 伽罗华） ⟺ Gal(K/E) ⊴ Gal(K/F)。
此时有短正合列 1 → Gal(K/E) → Gal(K/F) → Gal(E/F) → 1，即 Gal(E/F) ≅ Gal(K/F)/Gal(K/E)。
为什么？ 直观：E/F 正规 ⟺ E 的每个 F-嵌入都映 E 到自身 ⟺ 对每个 σ ∈ G，σ(E) = E ⟺ σ Gal(K/E) σ−1 = Gal(K/E)（共轭不变）⟺ Gal(K/E) 正规。
两个极端例子。
- Abel 群的情形：V4 = Gal(ℚ(√2,√3)/ℚ) 是 Abel 群，每个子群都正规，于是由定理 5.1，每个中间域都正规。事实确实如此：ℚ(√2)/ℚ、ℚ(√3)/ℚ、ℚ(√6)/ℚ 都是 2 次扩张，2 次扩张自动正规。
- 非 Abel 的情形：S3 = Gal(ℚ(∛2,ω)/ℚ) 非交换。它的正规子群有 {1}、A3（阶 3，指数 2）、S3 三个（另有三个阶 2 子群不正规）。对应地，ℚ(ω)/ℚ 正规（A3 对应），而 ℚ(∛2)/ℚ 在 K 内不正规（它由阶 2 子群固定，非正规子群）。
「正规子群不够多」正是五次方程无根式解的群论根源——这条线留给独立册《伽罗华理论》展开。
数值注记（E、F 组）。 脚本 E 组枚举 S3 子群并分出正规/非正规；F 组算固定域：若 σ 固定 √3 而反转 √2，则 K⟨σ⟩ = ℚ(√3)——固定域计算正是字典「群 → 域」的方向。
六三个标准例子：二次数域、分圆域、有限域
例 6.1（二次数域）。 任一 ℚ(√d)/ℚ（d 无平方因子）都是 2 次伽罗华扩张，Gal ≅ C2（σ : √d ↦ −√d）。它的中间域只有 ℚ 与自身，对应子群只有 1 与 C2——最简单的完整字典。
例 6.2（分圆域）。 ℚ(ζn)/ℚ 是伽罗华扩张，Gal ≅ (ℤ/n)×（其二定理 5.2）。因为 (ℤ/n)× 是 Abel 群，由定理 5.1，ℚ(ζn) 的每个中间域都正规，且扩张是可解（Abel）扩张。分圆域因此成为「一切 Abel 扩张都能嵌进分圆域」这一深刻定理（Kronecker–Weber）的舞台——其七会从这里继续。
例 6.3（有限域）。 𝔽q/𝔽p（q = pn）是伽罗华扩张，Gal ≅ Cn，由 Frobenius Fr : x ↦ xp 生成（其二定理 6.1）。Abel 群 Cn 的每个子群都正规，对应每个中间域（都是某个 𝔽pd，d | n）都正规。有限域是最「完美」的一族：永远伽罗华、永远 Abel、子域一一对应除数的因数。 其八会把它彻底解剖。
关于「完美域」。 特征 0 的域与有限域都是完美域（perfect field）——其上一切代数扩张都自动可分。故对 ℚ 的扩张与有限域的研究，可分性免费，伽罗华条件退化为「正规 + 有限」。可分性只在「特征 p 且非有限」的域（如 𝔽p(t)）上才会咬人。
数值注记（C 组末）。 脚本 C 组附列三族的 |Gal| = [K:F]：二次数域 2 = 2、ℚ(ζ5) 4 = 4、𝔽pn n = n。
七伽罗华理论的下一步（预告独立册）
本册到此为止，只完成了「搭台」：定义、等价刻画、基本定理的字典、三个例子。接下来的路属于独立册《伽罗华理论》，本册只在此指出三个方向：
- 方向一：用字典解方程。 把「方程可用根式解」翻译成「伽罗华群可解」，然后证明一般五次方程（S5）不可解——这是 Galois 的原始问题。
- 方向二：用字典造域。 反过来给定群 G，问是否存在伽罗华扩张以 G 为伽罗华群（逆伽罗华问题）。对任意有限群，仍是公开问题；对 Abel 群，Kronecker–Weber 与类域论给出了完整答案（其七触及）。
- 方向三：把字典推向无限。 当 K/F 无限时，Gal(K/F) 是 profinite 群，对应变成 Krull 拓扑下的闭子群对应（其九会看到绝对伽罗华群的雏形）。
本册的边界是刻意的：先让读者看清「正规 + 可分 = 一台精确的域–群翻译机」，再在独立册里用它翻译「可解」与「根式」这两个词。
八术语考古、三句话与阅读指引
8.1 名词与历史的来路
- Galois extension（伽罗华扩张）。 得名于 Évariste Galois（1811–1832）。他在 1831 年手稿中第一次给出「正规 + 可分」的完整刻画，但术语由后世（Dedekind、Artin）整理成现代形式。
- separable（可分）。 拉丁 separare「分开」：「根能分开」即「无重根」。可分性作为独立概念由 Steinitz 1910 在《Algebraische Theorie der Körper》中提炼——他第一次区分了「代数扩张」与「可分代数扩张」。
- perfect field（完美域）。 特征 0 或有限域；其上可分性免费。德文 vollkommen「完美/完备」，Steinitz 首创。
- Fundamental Theorem of Galois Theory（伽罗华基本定理）。 「基本定理」这一称号自 20 世纪 30 年代起通用（Artin 的《Galois Theory》讲义的推广）；它把「域的问题 = 群的问题」这句话写成定理。
- Artin's theorem（Artin 定理）。 Emil Artin（1898–1962）1920–30 年代给出「有限自同构群 — 固定域」的精确陈述，是基本定理现代证明的核心工具；其《Galois Theory》讲义（1942）是第一本以线性代数观点处理伽罗华理论的教材。
8.2 三句话总结
① 伽罗华扩张 = 有限 + 正规（其一其五）+ 可分（特征 0 免费，特征 p 靠 gcd(f, f′) = 1 检验），其判别式是 |Aut(K/F)| = [K:F]；三个条件各管一件事——有限给数，正规给丰富，可分给数量。
② 一旦取等号，域与群之间就有了一部精确字典（伽罗华基本定理）：中间域 ↔ 子群（反序），|H| = [K:E]、[G:H] = [E:F]（次数 ↔ 指数），正规扩张 ↔ 正规子群（Gal(E/F) ≅ G/H）。
③ 三个标准例子各有用途：二次数域（2 = 2 的最小伽罗华）、分圆域（Abel，每个中间域正规）、有限域（永远伽罗华、永远 Abel，子域一一对应因数）——而 ℚ(∛2)/ℚ 与 𝔽p(t1/p)/𝔽p(t) 分别示范缺正规、缺可分的两种破法。
8.3 阅读指引
- 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§5.4（基本定理）、§5.2（正规扩张和域的嵌入）、§5.3（可分扩张）——本册每节的「教材接口」即回指这些位置。
- 伽罗华理论标准教材：E. Artin, Galois Theory（Dover）第 4–6 讲；J.-P. Tignol, Galois' Theory of Algebraic Equations（World Scientific）第 9、10 章。
- 基本定理的现代证明：S. Lang, Algebra 第 VI 章 §1–2；D. S. Dummit & R. M. Foote, Abstract Algebra 第 14 章（含 V4、S3 的完整对应表，可对照本册第四、五节）。
- 可分性与完美域：N. Jacobson, Lectures in Abstract Algebra Vol. III 第 4 章；特征 p 的病理例子见 J. Neukirch, Algebraic Number Theory 第 II 章 §2。
- 下一步（独立册）：可解群与根式解见 I. Stewart, Galois Theory（CRC）第 15–19 章；逆伽罗华问题与 Kronecker–Weber 见 J. Neukirch, Algebraic Number Theory 第 VI 章。
《代数学基础（下·第 2 版）》第五章补充读物 · 域论专题读本其六 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026