域论专题读本 · 其三

本册定位。 其一告诉我们「域可以往上长」，其二告诉我们「对称可以算」，但真正动手造一个域的操作手册还没发下来。本册就是那本手册。核心是一台机器：F[x]/(p(x))——只要 p(x) 在 F 上不可约，商环就是一个含 F 的新域，且里面自动出现 p 的一个根 x̄。这台机器把「造域」问题完整地翻译成两个可操作的问题：① 怎么判定一个多项式不可约？② 造出来的域里元素长什么样、次数是多少？本册把这两个问题各自拆成一组具体刀具（艾森斯坦、模 p 归约、有理根定理、高斯引理），并用它们把 ℚ(√2)、ℚ(∛2)、𝔽₄、𝔽₉ 逐一造出来。走完本册，您会得到一个可复用的事实：[F(α):F] = deg irr(α, F)，以及它的一切推论（塔律、本原元定理）。

〇系列地图：九册读本与第四章的接口

本系列为第四章「域的扩张」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：

其一 从 ℚ 到 ℂ：代数数论的领地——数域的塔、代数整数与二次域的算术（接口：§4.1、§4.2）。

其二 域的自同构群——Aut(F) 与 F-自同构：固定基域的对称（接口：§5.2）。

其三（本册）极小多项式与扩域构造法——F[x]/(p(x)) 这台「造域机器」的完整操作手册（接口：§4.1 单扩张）。

其四 尺规作图的域论解释——可作图数恰是从 ℚ 出发的二次塔（接口：§5.8）。

其五 ℝ 上一元多项式的分裂域——分裂域的存在唯一性、正规性与实闭域（接口：§4.3）。

其六 伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华（接口：§5.4）。

其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标、Kummer 理论、Hilbert 90（接口：§5.3）。

其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽_q 的完整解剖（接口：§4.4）。

其九 范畴论中的域——Field 范畴无自由对象（接口：§4.1 的重述）。

本册是九册里最工具化的一册：它不追大定理，只把「造域」这件事的每一步操作讲透，供其余八册随时调用。

一极小多项式：代数元的身份证

定义 1.1（极小多项式）。 设 F ⊆ K，α ∈ K 代数。α 在 F 上的极小多项式 irr(α, F) 是 F[x] 中满足以下条件的多项式：首一、以 α 为根、次数最小。等价地，它是所有以 α 为根的多项式生成的理想 (α 的消去理想) 的那个唯一首一生成元。

定理 1.2（极小的三重刻画）。 设 p = irr(α, F)。则 ① p 不可约；② 若 f ∈ F[x] 满足 f(α) = 0，则 p | f；③ deg p = [F(α) : F]。三条彼此等价地把「极小多项式」「不可约性」「扩张次数」焊在一起。

为什么 p 必须不可约？ 若 p = gh（g, h 次数都小于 p），则 p(α) = g(α)h(α) = 0，K 无零因子，故 g(α) = 0 或 h(α) = 0——与 p 次数最小矛盾。这条看似简单的论证是一切造域法的合法性来源。

例 1.3（一批常用极小多项式）。

• irr(√2, ℚ) = x² − 2；irr(∛2, ℚ) = x³ − 2。
• irr(ζ₅, ℚ) = Φ₅ = x⁴ + x³ + x² + x + 1（分圆多项式）。
• irr((1+√5)/2, ℚ) = x² − x − 1（黄金比，注意它虽然「含根号」但极小多项式是整系数的）。
• irr(√2 + √3, ℚ) = x⁴ − 10x² + 1（本册第五节的主角）。

数值注记（A 组）。 脚本 A 组逐个数值验证上述根确实满足对应多项式（把根代回求值，误差 < 1e−9），并核对「次数 = 扩张次数」。

二造域机器：F[x]/(p(x))

定理 2.1（商域构造）。 设 F 是域，p ∈ F[x] 是不可约多项式。则

F[x]/(p)　是域，　且它是 F 的单扩张：x̄ = x + (p) 满足 p(x̄) = 0。

证明梗概. ① 若 (p) 是极大理想则商环是域；② F[x] 是主理想环，理想 (p) 极大 ⟺ p 不可约——这是「域上多项式环是欧氏环 ⟹ 主理想环 ⟹ 不可约元生成极大理想」这条链的直接后果（其一第三节）。

元素长什么样。 F[x]/(p) 的每个元素有唯一代表 r(x)，deg r < deg p。于是若 deg p = n，则

F[x]/(p) ≅ {a₀ + a₁x̄ + ⋯ + a_n−1x̄ⁿ⁻¹ : a_i ∈ F}，

其中乘法规则是「多项式相乘后对 p(x̄) = 0 做降次」。这给出 F[x]/(p) 的一组 F-基 {1, x̄, …, x̄ⁿ⁻¹}，于是 [F[x]/(p) : F] = n = deg p。

定理 2.2（单扩张同构定理）。 对任意代数元 α，F(α) ≅ F[x]/(irr(α, F))，其中同构把 x̄ 送到 α。因此 [F(α) : F] = deg irr(α, F)。

这台机器的威力在于它把「造域」化为「挑多项式」：想要一个含 ∛2 的域？取 irr(∛2, ℚ) = x³ − 2（下面第三节证明不可约），造 ℚ[x]/(x³ − 2) 即可。想要 4 元域？取 𝔽₂[x]/(x²+x+1)（第六节）。

三不可约判定的四把刀

判定的合法性与「造域」直接挂钩，所以必须有一组可操作的判据。

刀一：有理根定理（只对低次有效）。 若 f ∈ ℚ[x]，f 的有理根必形如 p/q，其中 p | 常数项、q | 首项系数（整系数化后）。对次数 2、3 的多项式，无有理根 ⟺ 不可约。

例 3.1。 x³ − 2 的有理根只能是 ±1, ±2（p | 2）。逐一检验：1−2 = −1、−1−2 = −3、8−2 = 6、−8−2 = −10，均非零。故 x³ − 2 无有理根，在 ℚ[x] 中不可约——ℚ(∛2) 的合法性由此确立。

刀二：艾森斯坦判别法。 设 f(x) = a_nxⁿ + ⋯ + a₀ ∈ ℤ[x]。若存在素数 p 使 p | a₀, …, a_n−1 但 p ∤ a_n 且 p² ∤ a₀，则 f 在 ℚ[x] 中不可约。

例 3.2。 ① x³ − 2 在 p = 2：2 | 0, 0, −2；4 ∤ −2 ⟹ 不可约。② Φ₅(x) 本身的两个「中间」系数是 1，不满足艾森斯坦；但代换 x → x + 1 后

Φ₅(x+1) = x⁴ + 5x³ + 10x² + 10x + 5，

在 p = 5 处：5 | 5, 10, 10, 5；25 ∤ 5 ⟹ 不可约。这条「平移代换 + 艾森斯坦」是判定分圆多项式不可约的标准手法。

刀三：模 p 归约。 设 f ∈ ℤ[x] 首一，p 是素数。若 f mod p 在 𝔽_p[x] 中不可约，则 f 在 ℚ[x] 中不可约（逆否：可约必可约）。（注意：对非首一 f 需避开头项系数被 p 整除的情形。）

例 3.3。 x² + 1 在 𝔽₃ 上：代 x = 0, 1, 2 得 1, 2, 2，无根，故在 𝔽₃ 不可约，于是 x² + 1 在 ℚ[x] 不可约（这也顺带说明 ℚ(i) 是 2 次扩域）。同一个 x² + 1 在 𝔽₂ 上却等于 (x + 1)²——同一个多项式在不同底域上的可约性可以完全不同，这正是整册书反复强调的「底域决定一切」。

刀四：高斯引理。 本原多项式（系数互素）在 ℤ[x] 中不可约 ⟺ 在 ℚ[x] 中不可约。它把「ℚ[x] 的分解问题」搬回「ℤ[x] 的整数世界」，是艾森斯坦与模 p 两大判据共享的合法基础（其一第六节已预支）。

数值注记（B 组）。 脚本 B 组把四把刀逐一编成检查：x³ − 2 的艾森斯坦(2)、Φ₅(x+1) 的艾森斯坦(5)、x²+1 在 𝔽₃ 无根 / 在 𝔽₂ 有根、x³ − 2 无有理根——四项全部通过。

四单扩张的次数、基与塔律

定理 4.1（次数的乘法公式，塔律）。 设 F ⊆ K ⊆ L 是域扩张，[L:F] = [L:K]·[K:F]（两端有限时成立）。

证明梗概. 若 {α_i} 是 K 在 F 上的一组基、{β_j} 是 L 在 K 上的一组基，则 {α_iβ_j} 是 L 在 F 上的一组基：① 生成性——L 的每个元素是 ∑ c_jβ_j（c_j ∈ K），每个 c_j 又是 ∑ a_ijα_i，于是展开为 ∑ a_ijα_iβ_j；② 线性无关性——由两级基的独立性逐层剥离。□

塔律的用处。 ① 立刻给出整除：中间域 K 的次数整除顶端次数 [L:F]；② 「不能造」的判据（其四的尺规作图全靠它）；③ 单扩张次数的核算：ℚ(√2, √3) 先扩 √2 得 2 次，再在 ℚ(√2) 上扩 √3：√3 满足 x² − 3，若 √3 ∈ ℚ(√2) 则 [ℚ(√2,√3):ℚ] 会降到 2；但因 √3 ∉ ℚ(√2)（若 a + b√2 = √3 则平方后 2ab√2 = 3 − a² − 2b²，无理数 = 有理数，矛盾），故 [ℚ(√2, √3):ℚ] = 2·2 = 4。

例 4.2（复合扩张的次数）。 ① [ℚ(√2, √3) : ℚ] = 4。② 设 ω = e^2πi/3，则 [ℚ(∛2, ω) : ℚ] = [ℚ(∛2,ω):ℚ(∛2)]·[ℚ(∛2):ℚ] = 2·3 = 6——因为 ω 满足 x²+x+1，而在实域 ℚ(∛2) 中该多项式不可分（ω ∉ ℝ）。

数值注记（D 组）。 脚本 D 组核对上两级次数 4 与 6，并验证塔律 4 = 2·2、6 = 3·2。

五本原元：一个元素就够

问题：ℚ(√2, √3) 用了两个生成元，能不能只用一个？

定理 5.1（本原元定理，可分情形）。 设 L/F 是有限可分扩张，则存在 γ ∈ L 使 L = F(γ)；这样的 γ 称为本原元。

例 5.2（γ = √2 + √3）。 记 s = √2 + √3。直接算：

s³ = 11√2 + 9√3，　9s = 9√2 + 9√3 ⟹ (s³ − 9s)/2 = √2；

11s = 11√2 + 11√3 ⟹ (11s − s³)/2 = √3。

于是 √2, √3 都能由 s 与有理数算出，故 ℚ(√2, √3) = ℚ(s)。s 的极小多项式是

x⁴ − 10x² + 1 = 0，

它恰以 ±√2 ± √3 四个数为根（这正是 ℚ(√2+√3) 的四个共轭，与其六的伽罗华群呼应）。

为什么「几乎任意」的线性组合都是本原元？ 在可分情形，只有有限多个「坏」组合（使 γ 落进某个真中间域的），而底域无穷（ℚ），故任取随机组合几乎总是本原元。这条「剔除有限个坏点」的计数论证，是证明本原元定理的最简方式。

数值注记（E 组）。 脚本 E 组数值验证 (s³ − 9s)/2 = √2 与 (11s − s³)/2 = √3，并核对 s⁴ − 10s² + 1 = 0——三式同时成立，说明「两个生成元」真的可以压成「一个」。

六有限域的第一课：𝔽₂[x]/(x²+x+1) = 𝔽₄

造域机器的第一个「非 ℚ」输出是有限域，它在整册书里会反复出现（其八专论）。

𝔽₄ 的来历。 取 𝔽₂[x] 中的多项式 x² + x + 1。它在 𝔽₂ 上不可约（代 x = 0, 1 得 1, 1，无根）。于是

𝔽₄ = 𝔽₂[x]/(x² + x + 1)，

元素写成 a + b·α（a, b ∈ 𝔽₂，α = x̄），共 2² = 4 个：{0, 1, α, α+1}；乘法规则由 α² = α + 1 给出（因 α² + α + 1 = 0，移项并注意 −1 = 1）。校验：α·(α+1) = α² + α = (α+1) + α = 1——故 α 的逆是 α + 1，每个非零元都可逆，𝔽₄ 确实是域。

𝔽₉ 的来历。 取 𝔽₃[x] 中的 x² + 1。它在 𝔽₃ 上不可约（代 x = 0, 1, 2 得 1, 2, 2，无根）。于是

𝔽₉ = 𝔽₃[x]/(x² + 1)，元素 a + b·i（i² = −1 = 2），共 9 个。

两条可以立刻记住的规律。 ① q 元有限域存在 ⟺ q 是素数幂 pⁿ（其八证明）；② 𝔽_pⁿ 可从 𝔽_p[x]/(某 n 次不可约多项式) 造出——这就是「造有限域」的全部操作。

数值注记（C 组）。 脚本 C 组自建 𝔽₄（bits 表示）与 𝔽₉（(a,b) 表示），验证：𝔽₄ 三个非零元都有逆、α² = α+1；𝔽₉ 八个非零元都有逆——两处都满足「非零元全体构成群」这一域的本质特征。

七代数扩张与超越扩张的界线

造域机器有一个前提：α 代数。若 α 超越，F(α) 是另一番样子。

定理 7.1。 α 在 F 上超越 ⟺ F(α) ≅ F(x)（一元有理函数域）⟺ [F(α) : F] = ∞。

理由. 若 α 超越，则「代入 α」给出同构 F(x) → F(α)（φ(x) ↦ φ(α) 是单同态，且象恰为 F(α) 的定义）。反之若 [F(α):F] 有限，则 1, α, …, αⁿ 必线性相关，给出一个以 α 为根的非零多项式，与超越矛盾。

例 7.2。 ℚ(π) ≅ ℚ(x)，[ℚ(π):ℚ] = ∞（π 超越，Lindemann 1882）。相较之下 ℚ(√2) 是 2 次代数扩张。「代数 / 超越」的分水岭，就是「有限 / 无限」的分水岭。

定理 7.3（有限扩张必代数）。 若 [K:F] = n 有限，则 K 的每个元素都在 F 上代数。理由：α ∈ K，则 1, α, …, αⁿ 是 n+1 个元素、落在 n 维 F-空间里，必线性相关，给出一组系数不全零的 a₀ + a₁α + ⋯ + a_nαⁿ = 0。

数值注记（F 组）。 脚本 F 组验证 α = 1 + ∛2 ∈ ℚ(∛2) 满足 α³ − 3α² + 3α − 3 = 0（由 (α−1)³ = 2 展开），即「有限扩张里随手一个元素都代数」。

八术语考古、三句话与阅读指引

8.1 名词与历史的来路

• minimal polynomial（极小多项式）。 德文 Minimalpolynom；「极小」指次数最小。它与线性代数中矩阵的最小多项式是同一思想的两种实现（本册是「域元素版」，线代是「线性算子版」）。
• quotient field（商域 / 余数域）。 F[x]/(p) 严格说是「商环」（quotient ring），因 p 不可约才成「域」。中文教材两词混用，读时须按 p 是否不可约判断。
• Eisenstein（艾森斯坦）。 Gotthold Eisenstein（1823–1852，德国），高斯门生，数论与椭圆函数方面的早逝天才（29 岁去世）。该判别法是他在 1850 年为判定分圆多项式不可约而提出的核心工具。
• primitive element theorem（本原元定理）。 由 Abel 与 Galois 的工作萌芽，Steinitz 1910 在《Algebraische Theorie der Körper》中给出一般表述；「可分」条件由后来者补齐。
• Gaussian lemma（高斯引理）。 Carl Friedrich Gauss（1777–1855）在《算术研究》（1801）中证明「本原多项式之积仍本原」，据此把 ℤ[x] 与 ℚ[x] 的分解问题等同起来。

8.2 三句话总结

① 造域的唯一正规机器是 F[x]/(p(x))（p 不可约）：它自动给出一个含 F 且含 p 的根的新域，且 [F[x]/(p) : F] = deg p；单扩张同构 F(α) ≅ F[x]/(irr(α,F)) 把一切代数扩张都归约到这台机器。

② 机器的燃料是「不可约多项式」，而判定不可约的四把刀是按次数分工的：次数 2、3 用有理根定理，一般情形用艾森斯坦、模 p 归约，其合法性由高斯引理担保。

③ 次数是核心账本：塔律 [L:F] = [L:K]·[K:F] 给出整除关系，本原元定理则保证有限可分扩张总能用「一个元素」生成——两句话一出，尺规作图（其四）与伽罗华对应（其六）的全部算术前提就齐了。

8.3 阅读指引

• 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§4.1（单扩张）、§4.2（有限扩张）——本册每节的「教材接口」即回指这些位置。
• 扩域与不可约判定：S. Lang, Algebra 第 V 章 §1–2；D. S. Dummit & R. M. Foote, Abstract Algebra 第 13 章（域扩张）与第 9 章（不可约判据）。
• 本原元定理：J. Bewersdorff, Galois Theory for Beginners 第 3 讲；一般域上的表述见 N. Jacobson, Basic Algebra I 第 4 章 §6。
• 有限域初阶：R. Lidl & H. Niederreiter, Finite Fields 第 1、2 章；𝔽₂[x]/(x²+x+1) 与 𝔽₄ 的构造见任何编码理论教材（如 MacWilliams & Sloane 第 3 章）。
• 高斯引理与多项式分解：B. L. van der Waerden, Algebra 第 I 卷 §5；计算实现见 D. E. Knuth, TAOCP Vol. 2 §4.6.2。

《代数学基础（下·第 2 版）》第四章补充读物 · 域论专题读本其三 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026