域论专题读本 · 其五

本册定位。 前三册各造了一个域、算了一个群、练了一套工具，但它们都是「一个一个来」的。本册要处理一整族多项式同时分裂的问题：给定 F[x] 里的一堆多项式，能不能找到一个「刚好够大」的域，让它们全部拆成一次因子的乘积？答案是能，而且这个域唯一——这就是分裂域。分裂域是继「单扩张」之后第四章第二个核心构造，也是「正规扩张」的来源。本册从 ℝ 这一支切进去：ℂ 是 ℝ[x] 中每个多项式的分裂域（代数基本定理的分裂域语言），而 ℝ 本身具有一种稀缺的性质——实闭（再往上加任何代数元都不再是域，只能得到代数闭的 ℂ）。这条 ℝ ⊂ ℂ 的「一步到顶」，恰好是 Artin–Schreier 定理的样本。

〇系列地图：九册读本与第四章的接口

本系列为第四章「域的扩张」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：

其一 从 ℚ 到 ℂ：代数数论的领地——数域的塔与二次域的算术（接口：§4.1、§4.2）。

其二 域的自同构群——Aut(F) 与 F-自同构（接口：§5.2）。

其三 极小多项式与扩域构造法——F[x]/(p(x)) 这台造域机器（接口：§4.1）。

其四 尺规作图的域论解释——可作图数恰是从 ℚ 出发的二次塔（接口：§5.8）。

其五（本册）ℝ 上一元多项式的分裂域——分裂域、正规性与实闭域（接口：§4.3 分裂域）。

其六 伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华（接口：§5.4）。

其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标、Kummer 理论、Hilbert 90（接口：§5.3）。

其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽_q 的完整解剖（接口：§4.4）。

其九 范畴论中的域——Field 范畴无自由对象（接口：§4.1 的重述）。

本册与其一「同走 ℚ → ℂ 这条路」，但视角相反：其一看「每个数各自的身份证」，本册看「每个多项式各自的家」。

一分裂域：把 f 的根全收集起来

定义 1.1（分裂域）。 设 F 是域，f ∈ F[x] 次数 ≥ 1。K 称为 f 在 F 上的分裂域（splitting field），若 ① f 在 K[x] 中分解成一次因子之积：f = c(x − α₁)⋯(x − α_n)（α_i ∈ K）；② K 是含 F 与原 f 的全部根 α₁, …, α_n 的最小域，即 K = F(α₁, …, α_n)。

三个立刻的例子。

• f = x² + 1 在 ℝ 上的分裂域是 ℝ(i) = ℂ。
• f = x² − 2 在 ℚ 上的分裂域是 ℚ(√2)。
• f = (x² − 2)(x² − 3) 在 ℚ 上的分裂域是 ℚ(√2, √3)（其一、其二已算过）。

分裂域 vs 单扩张。 单扩张是「加一个根就够」，分裂域要的是「把全部根一起收集」。当 f 不可约且次数 ≥ 3 时，两者常常不同：ℚ(∛2) 含 x³ − 2 的一个根，却不是它的分裂域——另外两个复根 ∛2ω、∛2ω² 不在里面。这个「差了多少」正是下一个概念（正规）要度量的。

数值注记（A 组）。 脚本 A 组核对 x²+1 的根是 ±i（分裂域 ℝ(i)，次数 2）、x²−2 的根是 ±√2（分裂域 ℚ(√2)，次数 2）——两个 2 次分裂域是「分裂域」概念最干净的开胃菜。

二存在唯一性：Kronecker 与「不管怎么造都一样」

定理 2.1（Kronecker 存在性）。 设 f ∈ F[x]，则 f 在 F 上存在分裂域。

证明梗概. 对 deg f 归纳。若 f 已完全分解，取 F 即可。否则取 f 的一个不可约因子 p，造 F₁ = F[x]/(p)（其三的造域机器），其中 p（从而 f）有一个根 α。在 F₁ 上 f = (x − α)g，对 g 归纳即得。□

定理 2.2（分裂域唯一）。 设 K, K′ 是 f 在 F 上的两个分裂域，则存在 F-同构 K → K′（即在 F 上恒等的域同构）。换言之：分裂域在 F-同构意义下唯一。

唯一性的意义。 它允许我们放心地写「the splitting field of f over F」，并讨论它的次数、自同构群（其六）等不变量——因为换一种造法结果同构。这条「存在 + 唯一」的组合拳，是整章自由度最大的地方，也是其六能谈 Gal(K/F) 的前提。

次数的关键公式。 设 f 不可约，deg f = n，则分裂域的次数 [K:F] 整除 n!（因为每加一个根次数乘上该根在当前域上的极小多项式次数，而后者 ≤ 剩余的 n − 已加根数）。这个「≤ n!」的粗界，配上判别式等更精细工具，就能算出具体值（第七节）。

三正规扩张：分裂域的宏观刻画

分裂域有一个不依赖具体多项式的等价刻画，这就是正规性。

定义 3.1（正规扩张）。 代数扩张 K/F 称为正规（normal），若 F[x] 中每个在 K 内有一个根的不可约多项式，在 K 内完全分解。等价地：凡 f 在 K 里有一个根，f 的全部根也在 K 里——「有一个就有一窝」。

定理 3.2（正规 ⟺ 是某族多项式的分裂域）。 K/F 正规 ⟺ K 是 F[x] 中某个多项式族 {f_i} 的分裂域。（有限扩张时，等价于「K 是某个单个多项式的分裂域」。）

正常性的两个正反例。

• ℚ(√2)/ℚ 正规：√2 的共轭 −√2 也在 ℚ(√2) 内。
• ℚ(∛2)/ℚ 不正规：∛2 的共轭 ∛2ω 不在 ℚ(∛2) 内（因该域是实的）。这正是其二「Aut 只有 1 个」的同一条病根。

正规 = 「根对共轭封闭」。 定理 3.2 与定义 3.1 合起来说：分裂域就是正规扩张的原型。其六会把它与可分性合起来，得到伽罗华扩张（正规 + 可分）。

数值注记（B 组）。 脚本 B 组核对：ℚ(√2)/ℚ 正规（两个根全在）；ℚ(∛2)/ℚ 不正规（只有 1 个实根在，另两个复根缺）；其分裂域 ℚ(∛2, ω) 的次数是 6。

四ℝ 与 ℂ：代数基本定理的分裂域语言

把分裂域的语言用到 ℝ[x]，第一条就是代数基本定理。

定理 4.1（代数基本定理，分裂域表述）。 ℂ 是 ℝ[x] 中每一个次数 ≥ 1 的多项式的分裂域；等价地 ℝ[x] 的每个多项式在 ℂ 中完全分解，且 ℂ = ℝ(i) 是「已经够了」的最小域。

定理 4.2（ℂ 是最小的代数闭域扩张）。 ℂ 是 ℝ 的唯一的二次扩张，且 ℂ 代数闭（无真的代数扩张）。因此对任何 f ∈ ℝ[x]，其在 ℝ 上的分裂域都含于 ℂ，且恰是「ℝ 加上 f 的所有非实根」。

实系数多项式的根结构。

• 复根成对出现。 若 f ∈ ℝ[x] 且 α 是 f 的根，则共轭 ᾱ 也是 f 的根（取共轭保系数）。故非实根个数是偶数。
• 奇次必有实根。 若 deg f 奇，则非实根个数是偶数，而总根数 deg f 是奇数，故至少一个实根。这是微积分「中间值定理」的代数版本，用于说明 ℝ 的实闭性。

数值注记（F 组）。 脚本 F 组核验 x⁴ + 1 = 0 的四个根 e^iπ(2k+1)/4（k = 0,1,2,3）两两共轭成对，同时 x⁴ + 1 在 ℝ 上无实根、在 ℂ 上恰四根。

五实闭域与 Artin–Schreier 定理

ℝ 的「一步到顶」性质有专门的名字。

定义 5.1（实闭域 / 形式实域）。 域 F 称为实闭（real closed），若 ① F 可赋序（等价地 −1 不是有限个平方之和，称形式实）；② F 没有真代数扩张仍是形式实。等价刻画：F(i) 代数闭且 F ≠ F(i)。

定理 5.2（Artin–Schreier）。 下面的条件等价：① F 实闭；② F(i) 是代数闭域；③ F 是一族实闭域的...（有限性条件的若干等价形式）。对 F = ℝ：ℝ 实闭，ℝ(i) = ℂ 代数闭。

为什么 ℝ 实闭？ 三条合起来：① ℝ 可赋序（标准的 ≤）；② 奇次实多项式必有实根（定理 4.2）——这条保证「任何奇次扩张都不可能是实的」，从而 ℝ 没有真的实代数扩张；③ ℂ = ℝ(i) 代数闭（代数基本定理）。Artin–Schreier 定理把这个「恰好一步」的现象抽象为实闭域的定义。

虚二次域的反面。 ℝ 只有 2 次代数扩张（即 ℂ）；相较之下 ℚ 有无穷多 2 次扩张（ℚ(√d) 对每个无平方因子 d，其一第五节）。「实闭」正是「2 次扩张唯一」这条极端性质的名字。

六实根个数的算法：Descartes 与 Sturm

分裂域是「定性」的；实际算多项式时常用的是「定量」的实根计数工具，它们也是 ℝ[x] 分裂域理论的计算面。

定理 6.1（Descartes 符号法则）。 设 f ∈ ℝ[x] 按降幂写出、去掉零系数。则 f 的正根个数（计重数）等于系数符号的变号次数，或比它少一个偶数。特别地：变号次数 = 0 ⟹ 无正根；变号次数 = 1 ⟹ 恰一个正根。

例 6.2。 f = x³ − 2 的系数（去零）为 +1, −2，符号序列「+ −」有 1 次变号 ⟹ 恰有 1 个正根（即 ∛2）。这与判别式（第七节）给出的「1 实根」完全一致。

定理 6.3（Sturm 定理）。 用 f 与 f′ 作辗转相除（欧几里得算法！——见其一第三节）得 Sturm 序列，序列在区间端点的符号变号数之差，恰给出该区间内实根的个数（不含重数）。

Sturm 的算法本质。 它把「数实根」变成「数符号变号」，而辗转相除是一其已讲透的算法——同一个欧几里得算法，在 ℚ 上求 gcd（其一），在 ℝ[x] 上数实根（本册）。 域论的「一个算法，多种舞台」再次上演。

数值注记（E 组）。 脚本 E 组用 Descartes 法则核对 x³ − 2（1 次变号 ⟹ 1 正根）、x³ − 3x + 1（2 次变号 ⟹ 3 或 1 个正根）以及奇次实系数多项式必有实根。

七分裂域次数实算：x³−2 得 6，x⁴−2 得 8

把前面所有工具合起来，算两个标准例子。

例 7.1（x³ − 2，分裂域次数 6）。 f = x³ − 2 的根是 ∛2、∛2ω、∛2ω²（ω = e^2πi/3，ω² + ω + 1 = 0）。

• 先加 ∛2：x³ − 2 不可约（艾森斯坦 p = 2），[ℚ(∛2):ℚ] = 3。
• 再加 ω：ω 的极小多项式是 x² + x + 1，而 ω ∉ ℚ(∛2)（后者是实域），故 [ℚ(∛2,ω):ℚ(∛2)] = 2。
• 塔律：[ℚ(∛2, ω):ℚ] = 3 · 2 = 6。这三个根都在 ℚ(∛2, ω) 里（∛2ω, ∛2ω² 由 ∛2 与 ω 相乘得到），故它就是分裂域。

例 7.2（x⁴ − 2，分裂域次数 8）。 f = x⁴ − 2 的根是 ±ρ、±iρ（记 ρ = ⁴√2，即 2 的四次方根）。

• 先加 ρ：x⁴ − 2 不可约（艾森斯坦 p = 2），[ℚ(ρ):ℚ] = 4。
• 再加 i：i 满足 x² + 1，且 i ∉ ℚ(ρ)（实域），故 [ℚ(ρ,i):ℚ(ρ)] = 2。
• 塔律：[ℚ(ρ, i):ℚ] = 4 · 2 = 8。

规律。 对 f = xⁿ − a（a 非完全 n 次幂），分裂域次数往往是 [ℚ(ⁿ√a):ℚ] · [ℚ(ω_n):ℚ(ⁿ√a)]，它落在 n! 之内。x³ − 2 的 6 与 x⁴ − 2 的 8 就是这条规律的两个样本——6 整除 3! = 6（取到上界），8 严格小于 4! = 24，说明「≤ n!」的粗界有时紧、有时松。

数值注记（C、D 组）。 脚本 C 组核对 x⁴ − 2 的艾森斯坦(2) 与分裂域次数 8；D 组核对 x³ − 2 的判别式 −108 < 0（1 实根）与 x³ − 3x + 1 的判别式 81 > 0（3 实根）。

八术语考古、三句话与阅读指引

8.1 名词与历史的来路

• splitting field（分裂域）。 德文 Zerfällungskörper，字面「分解域」；「splitting」指多项式「分裂」成一次因子。Kronecker 1887 首次构造，Steinitz 1910 系统化。
• normal extension（正规扩张）。 德文 normal；「正规」在此指「对共轭封闭」。Baer 与 Krull 在 20 世纪 20–30 年代确立现代用法。
• algebraic closure（代数闭包）。 「closure」来自拓扑的「闭」；F 的代数闭包 F̄ 是含 F 的、代数闭的、代数的最小扩张。ℂ = ℝ(i) 是 ℝ 的代数闭包。
• real closed field（实闭域）。 由 Artin 与 Schreier 在 1926/27 年的两篇论文中系统建立，解决了 Hilbert 第 17 问题，并把「实数域的序结构」推广到任意形式实域。Artin–Schreier 定理是实代数几何的基石。
• Sturm's theorem（Sturm 定理）。 Jacques Charles François Sturm（1803–1855）1829 年发表；他在变分法（Sturm–Liouville 问题）与代数方程论上均有奠基性工作。
• Descartes' rule of signs（笛卡尔符号法则）。 René Descartes 在《几何学》(1637) 中给出；它是「用系数符号数根」的最早例子。

8.2 三句话总结

① 分裂域 = 把 f 的全部根一起收集起来的最小域；它存在（Kronecker 归纳造域）且唯一（F-同构意义下），于是可以谈它的次数与自同构群。

② 分裂域正是正规扩张的原型：「有一个根就有一窝根」；ℚ(√2)/ℚ 正规，而 ℚ(∛2)/ℚ 不正规——这正是其二「Aut 只有 1 个」的同一病根。

③ ℝ 的特殊性在于「一步到顶」：ℝ 实闭、ℝ(i) = ℂ 代数闭（Artin–Schreier），而 ℂ 是 ℝ[x] 每个多项式的分裂域（代数基本定理）；定量地，Descartes 与 Sturm 用系数符号与辗转相除算出实根个数——同一个欧几里得算法从其一走到本册。

8.3 阅读指引

• 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§4.3（分裂域）——本册每节的「教材接口」即回指这一位置。
• 分裂域与正规扩张：S. Lang, Algebra 第 V 章 §3；D. S. Dummit & R. M. Foote, Abstract Algebra 第 13.4、14.1 节。
• 代数基本定理的多条证明：B. Fine & G. Rosenberger, The Fundamental Theorem of Algebra（Springer）——含拓扑、代数、分析三路。
• 实闭域与序结构：S. Lang, Algebra 第 XI 章 §2；T. Y. Lam, "The theory of real closed fields"（讲义）与 Artin–Schreier, "Algebraische Konstruktion reeller Körper", Abh. Math. Sem. Hamburg 5 (1927)。
• 实根计数：Descartes 法则与 Sturm 定理见 G. E. Collins, "Quantifier elimination for real closed fields"（1975）与任何符号计算教材；Sturm 序列的计算实现见 B. Mishra, Algorithmic Algebra 第 5 章。

《代数学基础（下·第 2 版）》第四章补充读物 · 域论专题读本其五 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026