域论专题读本 · 其二

本册定位。 群论读本里，我们把「保持结构的双射」——自同构——当作第一个正经对象，造出了 Aut(G)。域论里同样的一步，会立刻把我们带到伽罗瓦理论的门口：一个域 K 若是某个基域 F 的扩张，那么 K 里所有「固定住 F 不动」的自同构，恰好记录了 K 相对于 F 的全部对称。本册要把这台「对称计数器」彻底拆开来看：先看清 Aut(ℚ)、Aut(ℝ)、Aut(ℂ) 三个极端的模样，再学会用「根能去哪里」这条准则计算 Aut(K/F)，最后用分圆域、有限域两大族把它算到闭眼都会。全册最重要的一个不等式是 |Aut(K/F)| ≤ [K:F]，而它何时取等号，就是伽罗华扩张的定义（其六的主题）。

〇系列地图：九册读本与第五章的接口

本系列为第五章「伽罗瓦理论」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：

其一 从 ℚ 到 ℂ：代数数论的领地——数域的塔、代数整数与二次域的算术（接口：§4.1、§4.2）。

其二（本册）域的自同构群——Aut(F) 与 F-自同构：固定基域的对称，是伽罗瓦理论的起点（接口：§5.2 域的嵌入）。

其三 极小多项式与扩域构造法——F[x]/(p(x)) 这台「造域机器」的完整操作手册（接口：§4.1 单扩张）。

其四 尺规作图的域论解释——可作图数恰是从 ℚ 出发的二次塔（接口：§5.8）。

其五 ℝ 上一元多项式的分裂域——分裂域的存在唯一性、正规性与实闭域（接口：§4.3）。

其六 伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华，基本定理的陈述（接口：§5.4）。

其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标独立性、Kummer 理论与 Hilbert 90（接口：§5.3）。

其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽_q 的完整解剖（接口：§4.4）。

其九 范畴论中的域——Field 范畴无自由对象，绝对伽罗华群是一台 profinite 机器（接口：§4.1 的重述）。

本册处在「其一（造出域）」与「其六（判定伽罗华）」之间：它只做一件事，给每个扩张配上一个群，然后把这个群算清楚。其六会证明：这个群在「正规＋可分」时恰好「填满」整个扩张。

一域的自同构：保运算的双射

定义 1.1（自同构）。 域 F 的自同构是双射 σ : F → F，保持加、乘、1：σ(x + y) = σ(x) + σ(y)、σ(xy) = σ(x)σ(y)、σ(1) = 1。全体自同构成群 Aut(F)，运算为复合。

三条立刻可得的性质：

① 自同构必固定素域。 σ(1) = 1 ⟹ σ(n) = n（n ∈ ℤ），故 σ(q) = q（q ∈ ℚ）。特别地：特征 0 的域，其自同构都固定 ℚ；特征 p 的域，其自同构都固定 𝔽_p。

② 自同构保「可逆」与「方程的解」。 σ(u) 是单位当且仅当 u 是单位；若 f ∈ F[x] 且 f(α) = 0，则 f(σ(α)) = 0（因为 σ 保系数——若系数在 ℚ 或 𝔽_p 内则更直接）。这给出本册的主判据：自同构把根送到根。

③ 自同构的乘法是忠实表示。 每个 σ 由它在「一组生成元上的取值」唯一决定——这是所有具体计算的操作原则。

例 1.2（ℚ(i)）。 σ(a + bi) 必须把 a, b（有理数）固定，只需要定 σ(i)；而 σ(i)² = σ(i²) = σ(−1) = −1，故 σ(i) = ±i。于是 Aut(ℚ(i)) = {id, conj} ≅ C₂。

例 1.3（ℚ(√2)）。 同理 σ(√2)² = 2，而 ℚ(√2) 里的平方为 2 的元只有 ±√2，故 σ(√2) = ±√2，Aut(ℚ(√2)) ≅ C₂。

二Aut(ℚ)、Aut(ℝ)、Aut(ℂ)：三个极端

定理 2.1。 Aut(ℚ) = 1（只有恒等）。

证明. 设 σ ∈ Aut(ℚ)。σ(1) = 1 ⟹ σ(n) = n（n ∈ ℤ）⟹ σ(p/q) = p/q。故 σ = id。□

定理 2.2。 Aut(ℝ) = 1。

证明. 设 σ ∈ Aut(ℝ)。① σ 保持「平方」关系：x ≥ 0 ⟺ x = y²（y ∈ ℝ）⟺ σ(x) = σ(y)² ⟹ σ(x) ≥ 0。故 σ 保持序关系（a ≤ b ⟺ b − a ≥ 0 ⟹ σ(a) ≤ σ(b)）。② σ 固定 ℚ（定理 2.1 的论证）。③ ℚ 在 ℝ 中按序稠密：任取 x ∈ ℝ 与 ε > 0，存在有理数 q 使 σ(x) − ε < q < σ(x)，即 x 与 σ(x) 之间没有有理数。若 x ≠ σ(x)，取 ε = |x − σ(x)|/2 便得矛盾。故 σ(x) = x。□

定理 2.3（解析证明的另一路）。 若 σ 连续，则 σ = id 可由「σ 固定 ℚ + 连续性」直接得到。定理 2.2 的要点在于：无须假设连续性，保序性已足够。这也解释了为什么 ℝ 的刚性如此之强。

定理 2.4。 Aut(ℂ) = {id, 复共轭} ≅ C₂（在 ZFC 下）。

证明梗概. 设 σ ∈ Aut(ℂ)。① σ 固定 ℚ。② σ(i)² = −1 ⟹ σ(i) = ±i。③ 令 K = σ(ℝ)。K 是 ℝ 的同构像，故是实闭域；又 K(i) = σ(ℝ(i)) = σ(ℂ) = ℂ。④ 现证 ℝ ⊆ K：任取 x ∈ ℝ ⊂ ℂ = K(i)，写 x = a + bi（a, b ∈ K），因 x 实数故 b = 0，于是 x = a ∈ K。⑤ 由 ℝ ⊆ K ⊆ ℂ 与 [ℂ:ℝ] = 2 知 [K:ℝ] ∈ {1, 2}；但 K 实闭（−1 非平方），K ≠ ℂ，故 K = ℝ。⑥ 于是 σ|_ℝ 是保序自同构，固定 ℚ，按定理 2.2 论证得 σ|_ℝ = id。⑦ 最后 σ(i) = ±i，σ = id 或共轭。□

惊人的对照：Aut(ℂ/ℚ) 巨大。 若只要求固定 ℚ（不要求固定 ℝ），自同构群一下子变得极大：取 ℂ 的一组「超越基」（一组代数无关的数），任何对它的置换都可唯一延拓为固定 ℚ̄ 的自同构，故 |Aut(ℂ/ℚ)| = 2^2ℵ₀，

与实数全体的基数相当——比可数的 ℚ̄ 大得多。这条对照（其一第三节）说明：自同构群的「大小」完全取决于您固定了多少东西。

三F-自同构 Aut(K/F)：固定基域的对称

定义 3.1（F-自同构）。 设 F ⊆ K 是域扩张。K 的 F-自同构是满足 σ|_F = id 的自同构 σ : K → K。全体记作 Aut(K/F)，它是 Aut(K) 的子群。等价记号：Gal(K/F)。

三条常用事实：

① Aut(K/F) 也记作 Gal(K/F)（「伽罗瓦群」），本课程两个记号通用。

② Aut(K/F) ⊆ Aut(K)，且 Aut(F) 通过「延拓」与它互动。

③ 塔的关系。 若 F ⊆ K ⊆ L，则 Aut(L/K) ⊴ Aut(L/F)，且 Aut(L/F)/Aut(L/K) ↪ Aut(K/F)（限制映射）。

例 3.2（三个具体群）。

• Aut(ℚ(√2)/ℚ) = {id, σ} ≅ C₂，σ(√2) = −√2。
• Aut(ℚ(i)/ℚ) = {id, conj} ≅ C₂。
• Aut(ℂ/ℚ) = Aut(ℂ) 之外的巨大群（见第二节）。

关键判据（根的去向）。 设 K = F(α)，α 的极小多项式为 p(x) ∈ F[x]。则任何 σ ∈ Aut(K/F) 满足 p(σ(α)) = 0，即 σ(α) 必是 α 的共轭之一（p 在代数闭包中的另一根）；且 σ(α) 必须落在 K 内。于是 |Aut(K/F)| ≤ #{p 在 K 中可取的根} ≤ deg p = [K : F]。

这条「≤」是全册的核心，其六中「取等号」的那一刻，就是伽罗华扩张。

数值注记（A 组）。 脚本 A 组把 ℚ(√2) 的元写成 (a, b)（代表 a + b√2），把自同构 σ : (a, b) → (a, −b) 在 ±9 全域上验证「保加、保乘、固定 ℚ、平方为恒等」四件事，确认 Aut(ℚ(√2)/ℚ) 恰有两个元素。

四单扩张的自同构：根能去哪里

例 4.1（ℚ(√2, √3)，次数 4，Aut 阶 4）。 K = ℚ(√2, √3) 的元形如 a + b√2 + c√3 + d√6。任何 σ ∈ Aut(K/ℚ) 由 σ(√2)（取 ±√2）与 σ(√3)（取 ±√3）决定，且四个组合都合法（因为 √2, √3 的共轭都在 K 内）。于是

Aut(K/ℚ) ≅ C₂ × C₂（Klein 四元群），|Aut| = 4 = [K:ℚ]。

数值注记（B 组）。 脚本 B 组用以上乘法闭式（√2·√3 = √6、√6·√6 = 6 等）在随机元上验证四个映射 (ε₂, ε₃) ∈ {±1}² 都是域自同构，并核对它们构成 C₂ × C₂——注意这不是循环群，故 ℚ(√2, √3)/ℚ 的伽罗瓦群是「最小的非循环例子」。

例 4.2（ℚ(∛2)，次数 3，Aut 阶 1）。 α = ∛2 的极小多项式 x³ − 2 有三个根：∛2、∛2·ω、∛2·ω²（ω = e^2πi/3）。但 K = ℚ(∛2) ⊂ ℝ 只含实根 ∛2，故 σ(∛2) 只能取 ∛2，σ = id。于是 |Aut(ℚ(∛2)/ℚ)| = 1 < 3 = [ℚ(∛2):ℚ]。

这个「严格小于」的缺口是本册最重要的现象：ℚ(∛2)/ℚ 不是伽罗华扩张。缺口的本质是 x³ − 2 的另外两个根不在 K 里——这正是其五「正规扩张」的用武之地。

数值注记（C 组）。 脚本 C 组枚举 ℚ(∛2) 中满足 β³ = 2 的元（形如 a + b∛2 + c∛4），确认只有 β = ∛2 一个，故 Aut(K/ℚ) 平凡。

例 4.3（次数与群阶的一般关系）。 对单扩张 K = F(α)，设 p = irr(α, F)，则有不等式链 |Aut(K/F)| ≤ (K 中 p 的根数) ≤ deg p = [K : F]。

左等号 ⟺ p 的根全在 K 中且互异（正规＋可分）；中左等号 ⟺ 纯正規（可分但不必正规时中间仍可能等）。这两个等号分别在其六（伽罗华）与其五（正规）被逐一厘清。

五分圆域：Aut(ℚ(ζ_n)) ≅ (ℤ/n)^x

分圆域是 Aut 能完全算清的第一大族。

定义 5.1（分圆域）。 设 ζ_n = e^2πi/n 是 n 次本原单位根。K = ℚ(ζ_n) 称为 n 次分圆域。

定理 5.2。 ① ζ_n 的极小多项式是分圆多项式 Φ_n(x) = ∏_(a,n)=1 (x − ζ_n^a)，次数 φ(n)；② 任何 σ ∈ Aut(ℚ(ζ_n)/ℚ) 把 ζ_n 送到 ζ_n^a（(a, n) = 1）；③ 这个对应给出同构

Aut(ℚ(ζ_n)/ℚ) ≅ (ℤ/nℤ)^×，　σ_a : ζ_n ↦ ζ_n^a，

特别地 |Aut| = φ(n) = [ℚ(ζ_n):ℚ]——分圆扩张是伽罗华扩张。

为什么是 (ℤ/n)^×？ σ 把本原单位根送到本原单位根，即 ζ_n^a，其中 (a, n) = 1（否则 ζ_n^a 的阶小于 n，不是本原的）。复合 σ_a ∘ σ_b：ζ_n ↦ ζ_n^ab，于是 σ_aσ_b = σ_ab——乘法模 n 的群结构。这条同构是「伽罗瓦理论的第一个完整胜利」，也是其七「域在 Abel 群上的作用」的示范：(ℤ/n)^× 是 Abel 群，故分圆扩张是 Abel 扩张。

数值注记（D 组）。 脚本 D 组对 n = 5, 7, 8, 12 逐一枚举 (ℤ/n)^× 的元素个数，与 φ(n) = 4, 6, 4, 4 逐项核对，并验证 Φ_n(ζ_n) = 0（数值）。

六有限域的 Frobenius 与 Aut(𝔽̄_p)

第二大族是有限域，它把自同构群显示得最干净。

定理 6.1（Frobenius 自同构）。 设 q = pⁿ，𝔽_q 是 q 元有限域。映射

Fr : 𝔽_q → 𝔽_q，　x ↦ x^p

是域自同构，称为 Frobenius 自同构；且

Aut(𝔽_q/𝔽_p) = ⟨Fr⟩ ≅ C_n，　|Aut| = n = [𝔽_q:𝔽_p]。

为什么 Fr 是自同构？ ① 保加：(x + y)^p = x^p + y^p（特征 p 下的二项式定理，中间系数都是 p 的倍数）；② 保乘：(xy)^p = x^py^p；③ 单射：x^p = 0 ⟹ x = 0，有限域上的单射即双射。Fr 固定 𝔽_p（Fermat 小定理：x^p = x 对 x ∈ 𝔽_p）。Fr 的阶恰为 n：Fr^k = id ⟺ 每个 x 满足 x^pk = x ⟺ 𝔽_q ⊆ 𝔽_p^k ⟺ n | k。

无穷层：Aut(𝔽̄_p) ≅ Ẑ。 把代数闭包 𝔽̄_p 看作所有 𝔽_pⁿ 的并，Frobenius 在每层都作用，于是

Aut(𝔽̄_p) ≅ lim_← Aut(𝔽_pⁿ/𝔽_p) ≅ lim_← ℤ/nℤ = Ẑ（profinite 整数）。

这个 Ẑ 是「无限循环群的 profinite 完备化」，其元素可写成 ∑ c_n n! 形式的「超整数」。它是其九「绝对伽罗华群」的第一次出场。

数值注记（E 组）。 脚本 E 组自建 𝔽_2ⁿ（n = 1, 2, 3, 4，用不可约多项式 x²+x+1、x³+x+1、x⁴+x+1 构造），验证：① 对全体元素 x²ⁿ = x；② 存在元素使 x^2k ≠ x（k < n）；合起来即 Frobenius 的阶恰为 n——数值上把 Aut(𝔽_2ⁿ/𝔽₂) ≅ C_n 确认了一遍。

七自同构群与嵌入计数：|Aut(K/F)| ≤ [K:F]

把「F-自同构」稍作松动，就得到更有弹性的嵌入概念。

定义 7.1（F-嵌入）。 设 K/F 是扩张，Ω ⊇ F 是代数闭域。保持 F 不动的单同态 φ : K → Ω 称为 K 到 Ω 的 F-嵌入。

定理 7.2（嵌入计数）。 设 [K:F] = n 有限。则 K 到代数闭包 F̄ 的 F-嵌入至多 n 个；若 K/F 可分，则恰有 n 个。特别地 |Aut(K/F)| ≤ (K 到 F̄ 的 F-嵌入数) ≤ [K:F]，

且当 K/F 可分且正规（即伽罗华）时两处等号同时成立。

可分性的作用。 「可分」是「极小多项式的根互异」的推广。在特征 0 的域（如 ℚ 的一切扩张）上永远可分，故对 ℚ 的扩张，嵌入数恒等于 [K:F]；只有在特征 p 的域上，才可能出现「不可分扩张：嵌入数 < 次数」——最极端的例子是 𝔽_p(t^1/p)/𝔽_p(t)，次数为 p 但只有一个嵌入。

数值注记（F 组）。 脚本 F 组核对三例嵌入数：ℚ(√2)/ℚ 有 2 个（= [K:ℚ]）、ℚ(∛2)/ℚ 有 3 个（= [K:ℚ]，但其中只有 1 个自同构！）、ℚ(√2, √3)/ℚ 有 4 个（= [K:ℚ]）。这组数字把「嵌入数 = 可分次数」与「自同构数 ≤ 嵌入数（因须落在 K 内）」两条分得很清：∛2 的例子中 3 个嵌入里只有 1 个能回到 K 内。

八术语考古、三句话与阅读指引

8.1 名词与历史的来路

• automorphism（自同构）。 希腊 auto-「自身」+ morphē「形状」：把结构映到自身且保持它。术语在 19 世纪末由德文 Automorphismus 引入（Klein 的 Erlangen 纲领 1872 已用「变换群」思想）。
• Frobenius（弗罗贝尼乌斯）。 Ferdinand Georg Frobenius（1849–1917，德国）在研究有限域上的矩阵/多项式时发现 x ↦ x^p 这一自同构；他同时也是群表示论与有限群的先驱（Frobenius 定理、特征标理论的奠基人）。
• Galois group（伽罗瓦群）。 得名于 Évariste Galois（1811–1832）：他在 1830 年前后第一次把「方程根之间的置换群」与「方程的（不）可解性」联系起来，去世时年仅 20 岁。群论里符号 Gal 沿用了他的名字。
• normal / separable（正规 / 可分）。 正规（normal）指多项式在 K 中的根集对 Aut 封闭（其五）；可分（separable）指极小多项式的根互异。二者合起来即 Galois（伽罗瓦）。
• profinite group（profinite 群）。 德语 projektiver Limes + endlich：有限群的逆向极限。Ẑ 是最基本的 profinite 循环群，其九会看到绝对伽罗华群 Gi(𝔽_p) = Ẑ 是第一例。

8.2 三句话总结

① 域的自同构都固定素域，且把多项式的根送到根；由此派生主判据——σ(α) 必是 α 的极小多项式的共轭之一且必须落在 K 内。

② 三个极端：Aut(ℚ) = Aut(ℝ) = 1（刚体），Aut(ℂ) = C₂（id 与共轭），但 Aut(ℂ/ℚ) 大到 2^2ℵ₀——群的大小完全由「固定了多少」决定。

③ 核心不等式 |Aut(K/F)| ≤ [K:F] 是伽罗瓦理论的门槛：分圆域（≅ (ℤ/n)^×）与有限域（≅ C_n）两族恰好取等号，而 ℚ(∛2) 严格小于——取等号的那一刻，就是其六的伽罗华扩张。

8.3 阅读指引

• 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§5.1（域的自同构）、§5.2（正规扩张和域的嵌入）——本册每节的「教材接口」即回指这些位置。
• 伽罗瓦对应与自同构群：E. Artin, Galois Theory（Dover）第 2、3 讲；J. Bewersdorff, Galois Theory for Beginners（AMS）以多项式为主线，可对照本册的自同构计算。
• 分圆域：L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields（Springer GTM 83）第 2 章；分圆多项式 Φ_n(x) 与 (ℤ/n)^× 的同构见 S. Lang, Algebra 第 VI 章 §3。
• 有限域的 Frobenius 与 Ẑ：R. Lidl & H. Niederreiter, Finite Fields（Cambridge）第 2 章；profinite 群与绝对伽罗华群见 J. Neukirch, Algebraic Number Theory 第 IV 章。
• Aut(ℂ) = C₂ 的严格证明：P. M. Cohn, Algebra Vol. 2 或 B. L. van der Waerden, Algebra 第 II 卷；Aut(ℂ/ℚ) 基数的讨论见 P. J. Cameron, "Automorphisms of the complex numbers"。

《代数学基础（下·第 2 版）》第五章补充读物 · 域论专题读本其二 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026