本册定位。 尺规作图是古希腊留给数学的一笔遗产，也是域论第一次「出门打仗」——三大作图难题（倍立方、三等分角、化圆为方）悬了两千年，直到 1837 年 Wantzel 用域论一刀切断。本册要把这场胜利的机制彻底讲清：尺规的每一步（作直线、作圆）在代数上只做一件事——开平方；因此「可作图的数」恰好是从 ℚ 出发、一级一级开平方得到的数，它们的次数必然是 2 的幂。这条判据把三个几何难题一次性化成三个纯粹的代数问题：∛2 的次数是 3、cos 20° 的次数是 3、π 是超越数——三个都不是 2 的幂，于是三题同时判死。判据的另一面是惊人的正面结果：正 n 边形可作图当且仅当 φ(n) 是 2 的幂，它把 19 岁的 Gauss 领到了正 17 边形。
〇系列地图：九册读本与第五章的接口
本系列为第五章「伽罗瓦理论」的每一块骨架配置延伸读本，编排如下（「→」表示后续册将深化）：
其一 从 ℚ 到 ℂ：代数数论的领地——数域的塔与二次域的算术（接口：§4.1、§4.2）。
其二 域的自同构群——Aut(F) 与 F-自同构（接口：§5.2）。
其三 极小多项式与扩域构造法——F[x]/(p(x)) 这台造域机器（接口：§4.1）。
其四（本册）尺规作图的域论解释——可作图数恰是从 ℚ 出发的二次塔（接口：§5.8 尺规作图）。
其五 ℝ 上一元多项式的分裂域——分裂域、正规性与实闭域（接口：§4.3）。
其六 伽罗华扩域——正规＋可分＝伽罗华（接口：§5.4）。
其七 域在 Abel 群上的作用及其扩展——Artin 特征标、Kummer 理论、Hilbert 90（接口：§5.3）。
其八 有限域与域论中的有限条件——𝔽q 的完整解剖（接口：§4.4）。
其九 范畴论中的域——Field 范畴无自由对象（接口：§4.1 的重述）。
本册是九册里应用味最重的一册：它把其三的工具（次数、不可约、超越）一次性兑现成一个两千年难题的判决书。
一尺规：两条基本操作的代数后果
尺规作图只允许两类操作：① 过两已知点作直线；② 以已知点为心、已知长为半径作圆。新点只能取两直线、两圆、或直线与圆的交点。
把平面认同为复平面，给定初始点 0 与 1，一列作图能产生的点称为可作图点，对应的复数称为可作图数，全体记作 𝕂。
定理 1.1（可作图数的域封闭性）。 𝕂 是 ℂ 的子域，且 ℚ ⊆ 𝕂。
几何实现. 给定可作图数 a, b（在实轴上），则 a + b、a − b、ab、a/b（b ≠ 0）都可用相似三角形/平行线作出来——这是古希腊人早已掌握的「比例」操作。因此 𝕂 对四则运算封闭；又 0, 1 可作，故 ℚ ⊆ 𝕂。□
定理 1.2（两次操作的代数含义）。 设已作出的点对应的域为 K ⊆ ℝ2（坐标在某个域中）。
① 直线与直线相交：新坐标是 K 中元素的有理函数——不产生新数，仍在 K。
② 直线与圆、圆与圆相交：交点坐标满足一个 K 上的二次方程——新坐标属于 K 或 K 的一个二次扩张 K(√d)，其中 d ∈ K、d > 0。
核心结论：每取一个新交点，域的次数至多乘 2。 这就是「开平方是尺规的唯一本领」的精确表述。
数值注记（A 组）。 脚本 A 组把可作图数排成一串并核对次数：√2（2 = 21）、√3（2）、√2+√3（4 = 22）、√2+√3+√5（8 = 23）——次数全是 2 的幂，且每加一个平方根乘一次 2。
二可作图数恰是二次塔里的数
把「每次至多开一次平方」这句话叠起来，就得到本册的主定理。
定理 2.1（可作图数的结构）。 α ∈ ℝ 可作图 ⟺ 存在域塔
ℚ = F0 ⊂ F1 ⊂ ⋯ ⊂ Fm = K（α ∈ K），
其中每一步 [Fi+1 : Fi] = 2。等价地：[ℚ(α) : ℚ] 是 2 的幂。
证明要点. (⟸) 每次二次扩张都由「开一个平方根」实现，而开平方是尺规操作，故塔里所有数可作。(⟹) 由定理 1.2 逆推：整个作图过程对应的域塔，每一层次数至多 2，故顶端次数是 2 的幂；又 ℚ(α) 是顶端域的子域，由塔律 [顶端:ℚ] = [顶端:ℚ(α)]·[ℚ(α):ℚ]，故 [ℚ(α):ℚ] 也是 2 的幂。□
推论 2.2（可作图数的判别式）。 若 α 可作图，则 [ℚ(α) : ℚ] = 2k（k ≥ 0）。这是全部作图难题的总判据。 注意它是必要条件：次数是 2 的幂不保证可作图，但次数不是 2 的幂一定不可作图——判「不可作」全靠它。
数值注记（B 组）。 脚本 B 组核对若干可作图数的次数，并给出判据的 2 幂检测函数：2, 4, 8 是 2 的幂，3, 6, 10 不是。
三Wantzel 定理与「三次」的封锁
定理 3.1（Wantzel 1837）。 若一个数 α 是某个在 ℚ 上不可约的三次多项式的根，则 α 不可作图（因为 [ℚ(α):ℚ] = 3 不是 2 的幂）。
这条定理是「三次封锁」：凡是极小多项式为不可约三次的数，一律出局。三大难题中的两个（倍立方、三等分角）正是被这一条卡死——见下节。
一个反直觉的推论。 并非「所有角都不能三等分」：90° 可以三等分（得 30°，cos 30° = √3/2 次数 2）；某些特殊角可以。不能三等分的是「一般角」，60° 是它们的代表。 这类「有的行、有的不行」的精细差别，正是代数判据的用武之地：判据对每个具体的角分别作答。
四倍立方与三等分角：两次封锁
倍立方（Delian 问题）。 要求作出棱长为 ∛2 的立方体（原立方体棱长 1，体积翻倍）。∛2 的极小多项式是 x3 − 2，在 ℚ 上不可约（艾森斯坦 p = 2，其三第三节）。故 [ℚ(∛2):ℚ] = 3，非 2 的幂 ⟹ 不可作。传说中神谕要求把提洛岛的立方祭坛体积翻倍，两千年无人能解——原因是一个三次多项式。
三等分 60°。 设能三等分 60°，则 cos 20° 可作。由三倍角公式
cos 3θ = 4cos3θ − 3cos θ，
取 θ = 20°，cos 3θ = cos 60° = 1/2，得 4c3 − 3c = 1/2，即
8c3 − 6c − 1 = 0（c = cos 20°）。
这个三次多项式在 ℚ 上无有理根（有理根只能是 ±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8，逐一检验皆不为零），故不可约，[ℚ(cos 20°):ℚ] = 3 ⟹ 60° 不可三等分。
数值注记（C 组）。 脚本 C 组数值核验 8cos320° − 6cos 20° − 1 = 0，并遍历有理根候选（±1, ±1/2, ±1/4, ±1/8）确认无根，从而三次多项式不可约——双重确认了封锁。
五化圆为方与超越数
化圆为方。 要求作一个正方形，面积等于单位圆（面积 π），即要作出边长 √π。
死因不在「三次」而在「无限次」。 Lindemann 1882 证明 π 是超越数（其一第二节），于是 √π 也是超越数（若 √π 代数则 π = (√π)2 也代数，矛盾）。超越数的极小多项式不存在，[ℚ(√π):ℚ] = ∞，更不可能是 2 的幂 ⟹ 不可作。
两千年悬案的三句话死因。 ① 倍立方：∛2 的次数是 3。（Wantzel 1837）② 三等分角：cos 20° 的次数是 3。（Wantzel 1837）③ 化圆为方：π 是超越数。（Lindemann 1882）「次数是 2 的幂」这一条判据，把三个看似无关的难题统一到同一行代数结论上——这是域论威力的最好证据。
数值注记（F 组）。 脚本 F 组核验：(1) π 无理性/超越性判据的陈述；(2) 若要化圆为方，须作 √π，其与 ℚ 的关系不是任何有限次幂（超越）；(3) π 的连分数逼近收敛子（355/113）说明 π 虽被有理数逼近得很好，但永远不等于有理数——逼近能力与「可作图性」无关。
六正 n 边形与费马素数
正面结果：哪些正 n 边形能作？
定理 6.1（Gauss–Wantzel）。 正 n 边形可尺规作图 ⟺ φ(n) 是 2 的幂。等价地：
n = 2a · p1p2⋯pr， 其中 pi 是互不相同的费马素数（形如 22k + 1 的素数）。
论证梗概. 正 n 边形的顶点对应 ζn = e2πi/n。可作 ζn ⟺ ζn 的次数 φ(n) 是 2 的幂（定理 2.2）。而 ζn 与实部 cos(2π/n) 相伴：ℚ(ζn) = ℚ(cos(2π/n), iζn 的一部分)，可作 ζn ⟺ 可作 cos(2π/n)，二者次数关系把条件整理为 φ(n) = 2k。
费马素数。 Fermat 猜想 22k + 1 恒为素数，前五个确实如此：
3, 5, 17, 257, 65537。
但 k = 5 时 232 + 1 = 641 × 6700417（Euler 1732 发现），猜想破灭。已证的费马素数只有这五个，故已知可作图的奇数边正多边形，只能由 {3, 5, 17, 257, 65537} 组合而成。
判定表（n ≤ 20）。 可作：3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20；不可作：7, 9, 11, 13, 14, 18, 19。最小的「不可作」是正 7 边形（φ(7) = 6 非 2 的幂）。
数值注记（D 组）。 脚本 D 组用 φ(n) 的 2 幂判据枚举 n ≤ 20 的可作表，与上表逐项核对，并单列 7, 9, 11, 13 的不可作。
七17 边形的构造：一个 8 次方程如何拆成四次开方
π 的超越性挡住了「无限」，而 17 边形展示了「有限的 2 的幂」能走多远。
Gauss 的发现。 1796 年 3 月 30 日，19 岁的 Gauss 发现正 17 边形可尺规作出——这是自希腊以来正多边形作图问题的第一次两千年突破。
代数骨架。 cos(2π/17) 的极小多项式次数为 φ(17)/2 = 16/2 = 8 = 23，或等价地，ζ17 的次数是 16 = 24。伽罗华群 Gal(ℚ(ζ17)/ℚ) ≅ (ℤ/17)× ≅ C16，是一个循环群。循环性意味着存在一列正规子群
C16 ⊳ C8 ⊳ C4 ⊳ C2 ⊳ C1，
每一层的商都是 C2——于是整个扩张可以拆成一串二次扩张，每一层都是一次「开平方」。这正是定理 2.1 要求的二次塔！Gauss 特别注意到 (ℤ/17)× 阶是 16 = 24（2 的幂），并把这个群论观察翻译成了作图步骤。
数值确认。 cos(2π/17) ≈ 0.9324722，它是一个 8 次不可约多项式的根，而 8 = 23。17 是「最小的、非平凡的、内蕴 2 幂结构的费马素数」——3 和 5 太简单（次数 2、4），257 与 65537 太大（次数 64、32768），17 恰好是「手工可算、又不平凡」的那一个，故成为教科书的标准例题。
数值注记（E 组）。 脚本 E 组核对 φ(17) = 16 = 24、cos(2π/17) 的次数 8 = 23、cos(2π/17) 的数值，并列费马素数 3, 5, 17, 257, 65537。
八术语考古、三句话与阅读指引
8.1 名词与历史的来路
- 规、矩（compass and square）。 「规」是圆规，「矩」是曲尺。《周髀算经》开篇即以「数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩」总纲全篇，商高答周公「勾三股四弦五」正是用矩测天；《史记》「左准绳，右规矩」也见其用。中国的规矩传统偏重度量与测算（勾股、测望），未发展出希腊式的「只用无刻度直尺与圆规、且要求证明可作」的公理体系——后者正是本册全部代数推理的出发点。两条传统对照，恰好说明「作图问题」何时会催生域论。
- constructible number（可作图数）。 希腊 kataskeuē「构造」；「可用尺规构造出来的实数」，其代数刻画（二次塔）由 Wantzel 1837 给出。
- Wantzel（旺策尔）。 Pierre Wantzel（1814–1848，法国工程师/数学家），1837 年 23 岁时一篇文章同时解决倍立方与三等分角，并给出 n 边形可作条件的一半（另一半由 Gauss 的充分性与后续工作补足）。他英年早逝（34 岁），成果长期被低估。
- Delian problem（提洛问题 / 倍立方）。 传说提洛岛瘟疫，神谕要求把阿波罗立方祭坛体积翻倍，故称「Delian」；希腊人用「立方体倍增」命名，是三大作图难题之一。
- Fermat prime（费马素数）。 形如 Fk = 22k + 1 的素数。Fermat 猜其全为素数，Euler 1732 用 641 整除 F5 证伪。已知只有 k = 0, 1, 2, 3, 4 五个。
- Gauss–Wantzel theorem（高斯–旺策尔定理）。 正 n 边形可作 ⟺ n = 2a·p1⋯pr（pi 为互异费马素数）。Gauss 在《算术研究》第 VII 篇（1801）证明充分性，Wantzel 补足必要性。
- squaring the circle（化圆为方）。 拉丁 circulum quadrare；Lindemann 1882 的 π 超越性定理终结了它。英文习语「to square the circle」即指「做不可能的事」。
8.2 三句话总结
① 尺规的每一步在代数上只做一件事——开平方，因此可作图数恰是「由 ℚ 出发、有限次二次扩张」得到的数，其判据是 [ℚ(α):ℚ] 是 2 的幂。（Gauss–Wantzel）
② 三大难题的死因是同一条判据的三次具体应用：倍立方的 ∛2 次数 3、三等分角的 cos 20° 次数 3、化圆为方的 √π 超越——都不是 2 的幂。
③ 判据的正面面是：正 n 边形可作 ⟺ φ(n) 是 2 的幂 ⟺ n = 2a·(互异费马素数之积)，而正 17 边形（次数 8 = 23，循环群 C16 的 2 幂链条）是它最美的样本。
8.3 阅读指引
- 教材：张英伯、王恺顺《代数学基础（下·第 2 版）》§5.8（尺规作图）——本册每节的「教材接口」即回指这一位置。
- 三大难题的完整历史：J. Bewersdorff, Galois Theory for Beginners 第 8 讲；C. R. Hadlock, Field Theory and Its Classical Problems（MAA）第 1、2 章。
- 正 n 边形与分圆域：L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields 第 2 章；(ℤ/n)× 的 2 幂结构与作图的联系见 C. F. Gauss, Disquisitiones Arithmeticae 第 VII 篇。
- 费马素数：P. Ribenboim, The New Book of Prime Number Records 第 2 章（含 F5 分解与开放问题）。
- 可作图性与近似作图：关于「17 边形的实际作图步骤」见 H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry §2；关于「不可作但可近似」的讨论见任何数值分析教材（用正 n 边形逼近圆）。
《代数学基础（下·第 2 版）》第五章补充读物 · 域论专题读本其四 ｜ 九章格数学 ｜ 第 2 版 · 2026