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九章格数学 PhiloMath · K2C · 抽象代数配套

群论专题读本 · 其二

半群与格林（Green）关系：把「不可逆」的结构看清

群论专题读本 · 其二《代数学基础（下·第 2 版）》第一章补充读物

本册定位。 群论里最顺手的工具——陪集分解、共轭类、正规子群、商群（§1.2–1.6）——件件都要用到逆元。可一旦离开群，走进变换、矩阵、语言、自动机这些「过程」的代数（半群与幺半群），逆元常常不存在。那么：没有逆元，还能不能讲结构？本册的主角是 J. A. Green 在 1951 年给出的回答——五个互素的等价关系 ℛ、ℒ、𝒥、𝒟、ℋ，把半群里的元素按「互相可达」分层，画出著名的「蛋盒图」（egg-box）。在蛋盒里，幂等元旁边的格子正好是群（格林定理），于是「藏在一大堆不可逆过程里的群」有了精确的解剖学。第七节补齐拼图的最后一块：同余——让「划分」有资格成为「新半群」的相容性条件，也是格林关系与商结构的接合处。

一为什么半群需要「新语言」：逆元缺席之后

先把第一章的工具清单摆出来，逐件检验它们在「无逆」世界里还活不活：

① 陪集（§1.2）。「子群 H 的左陪集 gH」的良定义依赖消去：g1H = g2H ⟺ g1−1g2 ∈ H。没有逆元，等价的表述只能是「H ⊆ g1−1g2H」这种绕圈子的话。 ② 共轭（§1.3）。 gxg−1 需要 g−1。没有它，「x 与 y 相似」无从谈起。 ③ 正规子群与商（§1.4–1.5）。 商群 = 模去正规子群，其良定义条件是 gN = Ng——本质上又是「乘逆元」的变形。 ④ 轨道-稳定子（§1.7）。 稳定子是子群、轨道长整除群阶——拉格朗日定理是「左右平移都是双射」的推论。

半群里这四个工具集体失效，但结构显然还存在：全体 n×n 矩阵按「秩」分层，全体变换按「像的大小」分层，秩在乘法下不增——这种「越乘越退化、不可逆」的方向感，正是半群独有的几何。格林的天才在于看出：把「理想」（半群对乘法封闭的接收端）当作基本对象，元素 a 与 b 的关系 = 「由 a 生成的那点结构」与「由 b 生成的那点结构」是否重合。逆元不再需要，因为我们要比较的不是「元素」，而是它们各自能到达、能被到达的整个集合——用可达性取代可逆性，这就是格林关系的哲学。

二五层格林关系：定义与第一眼性质

以下 S 是半群。为了统一起见，若 S 无单位元，先形式地粘一个单位元 1（记所得为 S1）。元素 a 的「右理想」aS1 = {as : s ∈ S1} 是 a 能右乘到达的所有元素（连同自己）；「左理想」S1a 对称；「双边理想」S1aS1 是 a 能「左乘再右乘」到达的一切。

定义 2.1（格林关系，Green 1951）。 对 a, b ∈ S 定义： a ℛ b　⟺　aS1 = bS1　（a、b 生成同一右理想） a ℒ b　⟺　S1a = S1b　（…同一左理想） a 𝒥 b　⟺　S1aS1 = S1bS1　（…同一双边理想） a ℋ b　⟺　a ℛ b 且 a ℒ b　（ℛ ∩ ℒ） a 𝒟 b　⟺　存在 c：a ℛ c 且 c ℒ b　（ℛ 与 ℒ 的复合） 即：ℋ = ℛ∩ℒ（最细），𝒟 最「宽」（稍后证明它确是等价关系），且含入链

ℋ ⊆ ℛ ⊆ 𝒟 ⊆ 𝒥，　ℋ ⊆ ℒ ⊆ 𝒟 ⊆ 𝒥。ℛ 与 ℒ 之间没有大小关系：矩阵的「行空间」与「列空间」本来就是两个维度的信息。

注 2.2（直接观察）。 ① 幺半群里可逆元只有一个关系类：若 a 可逆则 aS1 = S1 = bS1 对一切可逆 b 成立——在群里，五个关系全部塌缩成「全体互相关联」这一个类。这正是「格林关系 = 群结构语言的一般化」的旁证。② 交换半群里 ℛ = ℒ = 𝒥（左右无别）。③ S1 的粘法保证 a ∈ aS1：没有单位元时 a 本身仍「可达自己」，这是记号 S1 的全部意义。④ 对 Tn 里的映射，ℛ、ℒ 有漂亮的具体化身（见第三节）。

𝒟 用「经中转可达」来定义，第一件要证明的事是它与次序无关、且真是等价关系：

定理 2.3. ℛ∘ℒ = ℒ∘ℛ；故 𝒟 是等价关系，且 𝒟 是 ℛ、ℒ 之上最小的等价关系（ℛ∨ℒ = 𝒟）。 证明思路（半页纸）。 若 a ℛ c 且 c ℒ b，则 a = cu、c = av（右理想相等），且 c = wb、b = zc（左理想相等）。把右乘 u 与左乘 w 接起来：从 a 出发 a = c·u = (wb)u = w·(bu)，且 bu ℛ b？——关键一步是验证 bu 与 b 同处一个 ℒ-类（因为 bu = b·u 在 b 的右理想里「烧」不出来，而 b = bu·v 需要 u 的「右逆」v，这由 c = av 供给：b = zc = z·(av) = (za)·v，而 za = ?…）。收束需要约十行「来回拉」，标准证明见 Howie 定理 2.1.4。结论是存在 d 使 a ℒ d ℛ b，即 ℛ∘ℒ ⊆ ℒ∘ℛ，对称地反向包含；于是 𝒟 对称、可迁，是等价关系。□ 要点记诵：𝒟 = 「先横着走（ℛ）再竖着走（ℒ）」=「先竖再横」；两种走法殊途同归——这是蛋盒几何能成立的根本原因。

数值剧本在 T3 上逐对验证了定理 2.3（B1–B3）：ℛ∘ℒ 确为等价关系、等于 ℒ∘ℛ、且与 𝒥 重合——有限半群里 𝒟 = 𝒥 是另一条定理（格林当年证得：有限时 S1aS1 = S1bS1 ⟹ 可经 ℛ、ℒ 两步到达），下文 C 段所见。

三蛋盒图：把 T3 的全部 27 个变换画成一张地图

记 Tn 为 {1,…,n} 上全体自映射（复合）构成的幺半群，|Tn| = nn。它是「最大的过程代数」——凯利定理的幺半群版说每个幺半群都嵌进某个 Tn（其一第二节）。我们就在 T3（27 个元素）上把格林关系「全画出来」。记号：映射记 (f(1) f(2) f(3))，如 (1 1 2) 表示 f(1)=1, f(2)=1, f(3)=2；复合约定 (f∘g)(x) = f(g(x))，即先做 g 再做 f。

第一步：𝒥-类 = 秩。 秩 rank(f) = |像| 在复合下不增，且「同秩」恰是双边理想相等（A 段断言）：

T3 按 𝒥(=𝒟) 分成 3 层： 秩 3：6 个 = 全部双射 = S3 秩 2：18 个（像为二元集的非双射） 秩 1：3 个 = 三个常值映射（像为单元集）

第二步：秩 2 层的蛋盒。 脚本算出：这 18 个元素分成 3 个 ℛ-类 × 3 个 ℒ-类 = 9 个 ℋ-格，每格恰好 2 个元素（C1 段：同一 𝒟-类内 ℋ-格等大——格林引理的数值化身）。再细看行列的「名字」：同一 ℛ-类 = 同像（像集相同，如 {1,2} 或 {1,3} 或 {2,3}）；同一 ℒ-类 = 同核（核划分相同，三种 2+1 划分）。行按像、列按核排好后，蛋盒长这样（* 标含幂等元的格）：

秩 2 𝒟-类蛋盒（行 = ℛ-类/同像，列 = ℒ-类/同核；每格 = ℋ-类） 核 {{1,2},{3}} 核 {{1,3},{2}} 核 {{1},{2,3}} 像{1,2} R1 [112 221] [121* 212] [122* 211] 像{1,3} R2 [113* 331] [131 313] [133* 311] 像{2,3} R3 [223* 332] [232 323*] [233 322]

同一格里的两个元素同像同核——它们只差在「把哪根纤维打到像里的哪个点」。例如格 [121 212]：f = (1 2 1) 把 {1,3} 打到 1、{2} 打到 2；g = (2 1 2) 恰好对调了这两笔。这正是「蛋盒」名字的来历：每个 ℋ-格像一枚鸡蛋，蛋与蛋之间被不可逆的映射隔开。

注 3.1（与第一章节的对照）。 ℛ-类（同像）与 ℒ-类（同核）的关系，酷似 §1.2 里「左陪集划分 vs 右陪集划分」：在群中 gH 与 Hg 两种划分重合时才可作商；在半群中 ℛ 与 ℒ 的复合 ℛ∘ℒ 构成「商结构」的骨架（第四节的格林定理会把这个类比落到实处：含幂等的 ℋ-格 = 商结构里的「群块」）。

第三步：幂等元 = 蛋盒里的「支点」。 群里幂等元只有一个（单位元），T3 里却有 10 个：单位映射（秩 3，1 个）、秩 2 幂等 6 个、常值映射（秩 1，3 个，每个本身幂等）。在蛋盒里 6 个秩 2 幂等元分布在 9 格中的 6 格，每格一枚；其余 3 格（[112 221]、[131 313]、[233 322]，恰在对角线上）不含任何幂等元。下一节将证明：含幂等的格 = 群，不含幂等的格 = 连封闭都谈不上的散格——脚本 E2 段显示 [112 221] 里两元之积 (1 1 2)·(2 2 1) 与 (2 2 1)·(1 1 2) 双双跌出格外，落在常值映射 (1 1 1) 或 (2 2 2) 上。

教材接口。 ① 格林关系对「群」的塌缩（注 2.2）直接解释为什么 §1.2–1.3 在群里只需讲「子群/陪集/共轭类」三种划分——群太对称，五种关系互相叠成一层。② 秩 3 层 = S3 是一个「整层群」，与 §1.1 的凯利定理（每个 n 阶群 ⊂ Sn）对读：凯利定理说每个群都能被看成「某层里的双射」；格林说反方向也成立——任何一大锅不可逆变换（如 Tn）里，群只出现在「含幂等元的 ℋ-格」，Sn 只是其中最大最干净的一个。③ 定理 2.3 的「先横再竖 = 先竖再横」，与 §1.4 商群良定义的「左陪集划分 = 右陪集划分」是同一句格言在两种语境下的变奏。

四格林定理：含幂等的 ℋ-格恰好是「藏在半群里的群」

第三节的蛋盒里，有的格带 *（含幂等元）、有的不带。格林定理回答：* 号正是「成群」的记号。这是全册的心脏。

定理 4.1（格林定理 / 最大子群定理）。 设 e 是半群 S 的幂等元，记 H_e = {x ∈ S : x ℛ e 且 x ℒ e}（e 所在 ℋ-格）。则： (i) H_e 关于 S 的乘法成群，单位元就是 e——H_e 是 S 的一个子群（当 e 是单位元时，H_e 正是 S 的单位群）； (ii) H_e = eSe 的单位群，其中 eSe = {ese : s ∈ S} 是以 e 为单位元的夹心幺半群； (iii) H_e 是 S 中包含 e 的极大子群，且同一 𝒟-类中不同幂等元对应的 H_e 彼此同构； (iv) 反之，𝒟-类里的 ℋ-格若含幂等元则成群（(i) 已说），若不含幂等元则连「含单位元」都谈不上——更谈不上是子半群（数值：对角三格两元之积均跌出格外）。 证明骨架（以 (i) 为例）。 结合律自动承自 S；需证三点：格内封闭、e 为格内单位元、每元有格内逆。a ∈ H_e 给出 a ℛ e 与 a ℒ e，即存在 x, y, u, v ∈ S1 使 e = ax、a = ue、e = ya、a = ev。由 a ℛ e 得 a·(xe) ∈ H_e（格林引理保证右乘把 ℋ-格平移成 ℋ-格），而 a(xe) = (ax)e = e·e = e——说明 e 在格内「可被 a 右乘到」；对称地左乘给 (ey)·a = e。于是定义 a* = xe·?…精确地：由 e = a·x 与 e = y·a，置 b = y·e·x，经格林引理 b ∈ H_e 且 ab = a(yex) = (ay)(ex) = e·?（ay = e）… = ex? 细算：ab = (a y) e x = e·e·x = ex，而 ex = ?（e = a x 给出 ex = ?）——严格推算约八行（标准见 Howie §2.2 定理 2.11），思想是：ℛ 供给「右逆」，ℒ 供给「左逆」，格林引理保证它们都留在 H_e 内，半群结合律再逼二者合一。□

注 4.2（一句话版）。 群出现在半群里的地方，正好是幂等元的身边：幂等元 = 「到此为止、不再退化」的稳定状态，稳定状态旁的格子里的变换可以逆着走回来——它们成群。这就是「最大子群」：S3 里 H_e = S3 本身；T3 秩 2 层里 6 枚 H_e ≅ C2；常值映射 c 的 H_c = {c}（平凡群）。脚本 E1–E3 段逐格验证：6 个含幂等格全部成群（封闭 + 每元格内逆），3 个无幂等格全部不封闭；且每个含幂等格精确等于 eSe 的单位群（E3，25 项断言中最能说明「最大子群 = 夹心幺半群的单位群」的一条）。

五全变换幺半群 Tn：一张分层的「群栈」

把第三节的图景推广到一般 Tn，得到半群理论最漂亮的一幅鸟瞰图——它把第一章的对称群 Sn 嵌进更大的世界，并指明它的「邻居」是什么：

定理 5.1（Tn 的分层结构，19 世纪晚期的「民间知识」，经格林关系严格化）。 设 1 ≤ r ≤ n。 ① 𝒥-类（= 𝒟-类）由秩决定：同秩 r 的映射恰成一个 𝒟-类。 ② 秩 r 的 𝒟-类里，ℛ-类 = 同像（C(n,r) 个）、ℒ-类 = 同核（把 n 个点分成 r 根纤维的划分，个数 = 第二类 Stirling 数 S(n,r)），蛋盒是 C(n,r) × S(n,r) 的矩形，每格 (n−r)! 个元素——同像同核、只差纤维内的置乱。 ③ 含幂等元的格 = 最大子群，全部同构于 S_r（像集上的一切置乱！）：秩 r 层里「藏着」的群是 r 次对称群。

于是 Tn 是一架群栈：顶层 r = n 是干净的 Sn（整层就是一个群、一个蛋）；往下每一层由「秩 r 的双射块」（≅ S_r）为群块，用不可逆的映射相互粘连。粘合剂正是那些「无幂等格」与格间乘法——它们把上层的东西压扁、投影到下层。对 T3 全图总结如下（脚本输出）：

层 元素数 蛋盒 格大小 含幂等格(群) 无幂等格 秩3 = S3 6 1×1 6 1（≅ S3） 0 秩2 18 3×3(像×核) 2 6（≅ S2=C2） 3（对角） 秩1(常值) 3 3×1 1 3（平凡群） 0 ────────────────────────────────────────────────────────────── 幂等元共 10 = 1（单位）+ 6（秩2）+ 3（常值）；群块共 1 + 6 + 3 = 10 枚

注 5.2（两条通向群论的桥）。 ① 凯利定理说任何 n 阶群 G ⊂ Sn = 秩 n 层；半群理论加一句：任何有限幺半群 M ⊂ T_n（n = |M|），于是 M 的全体「内部群」都是 T_n 某层的最大子群——第一章处理的是 Sn 内部的结构（§1.6 单性、§1.8 西罗），半群理论处理的是「把 S_r 们堆在一起的结构」。② 矩阵幺半群 Mn(F) 有完全平行的分层：秩 r 的 𝒥-类里的最大子群 ≅ GL_r(F)（可逆 r×r 块）——「不可逆矩阵堆里的可逆集团」，正是其四（群论看线性方程组）的伏笔。幂等矩阵、投影算子在这些蛋盒里扮演常值映射的角色。

六逆半群：凯利定理的「部分化」

格林关系给了半群一张结构图，但「哪些半群最像群」的问题还悬着。答案是逆半群——其一的「出口」之一，这里正式展开。

定义 6.1. 半群 S 称为正则半群，若每元 a 至少有一个广义逆 b 使 aba = a（等价地 bab = b 也可满足）；若每元 a 的广义逆唯一（记 a−1），S 称为逆半群。 例 6.2. 群当然是逆半群。最重要的例子：对称逆幺半群 I_X = 集合 X 上的全体部分双射（定义域与值域都是 X 的子集的双射），复合按「哪里都定义就在哪里复合」。|I2| = Σ C(2,k)2·k! = 1 + 4 + 2 = 7：空映射 0、四个单点部分双射、恒等 1、对换 σ。I_X 里的「群」是那些定义域 = X 的整体双射 = S_X；I2 的 7 元里，含幂等格的群块是 {1,σ} ≅ C2 与六个平凡群（0 本身、四个单点恒等、…）。

引理 6.3（幂等元的世界）。 逆半群里：① 幂等元两两交换（ef = fe）；② 幂等元全体构成一个半格（每对幂等有下确界 ef = fe）；③ 自然偏序 e ≤ f ⟺ e = ef = fe（部分双射语境下即「定义域包含」）。群里只有一枚幂等元（单位元），所以这些结论在群论里看不见——逆半群是「一群幂等元 + 其间可逆的连接」。脚本 G 段验证了 I2：4 枚幂等元两两交换、每元恰有一个广义逆。

定理 6.4（Vagner–Preston，1952/1954）。 任何逆半群 S 都同构于某个对称逆幺半群 I_X 的逆子半群。 构造思想。 取 X = S。对每个 s ∈ S，考虑右平移的部分化：ρ_s : x ↦ xs，但只在 x·(ss−1) = x 的那些 x（即主右理想 S·ss−1）上定义——在这个定义域上 ρ_s 单（xs = ys 两边右乘 s−1 即得 x·ss−1 = y·ss−1 = 各自本身），故是 X 上的部分双射。复合 ρ_s∘ρ_t = ρst（在共同定义域上），于是 s ↦ ρ_s 是保运算的单射，S 被嵌进 I_S。 读法。 凯利定理（§1.7 定理 1.7.3）说：群 = 整体双射（对称群）的子群；Vagner–Preston 说：逆半群 = 部分双射的子半群。整体对称 ↔ 局部对称，一条线两端。群论里「Sn 是最普适的群容器」，半群论里「I_n 是最普适的逆半群容器」。

注 6.5（为什么逆半群重要）。 ① 部分双射正是「局部对称性」的代数：微分同胚的局部定义域、酉算子的部分等距、关系数据库的约束保持映射——都是 I_X 的化身（Lawson 的专著标题就叫《Inverse Semigroups: The Theory of Partial Symmetries》）。② 逆半群与群胚（groupoid）只有一步之遥：把每个幂等元 e 对应到「对象 e」，H_e 是对象 e 处的自同构群，s−1s 与 ss−1 是 s 的源与靶——格林关系在逆半群里「可计算化」，逆半群理论成为通向范畴论（其九）与几何（étale groupoid、算子代数的 Murray–von Neumann 等价）的桥梁。

七同余与商半群：让划分有资格成为新半群

格林关系是「分类学」：它把 T3 的 27 个变换装进 10 个 ℋ-格。但分类本身还不是新结构——要把一个划分做成商半群，等价关系必须与乘法相容。这正是群论里「正规子群」（§1.4）在半群世界的化身，也是半群能像群一样「做商」的全部秘密。

定义 7.1（左同余、右同余、同余）。 设 ρ 是半群 S 上的等价关系。 ① ρ 称为右同余，若 a ρ b ⟹ ac ρ bc（对一切 c ∈ S）——「右乘不撕开同类」； ② ρ 称为左同余，若 a ρ b ⟹ ca ρ cb——「左乘不撕开同类」； ③ ρ 称为同余（congruence），若它既是左同余又是右同余。 群的情形：等价关系 ρ 在群 G 上是同余 ⟺ 存在正规子群 N 使 a ρ b ⟺ aN = bN——商半群 S/ρ 是「商群 G/N」的直接推广，教材 §1.4 的「gN = Ng 良定义条件」在这里化成「左右同时相容」。

定理 7.2（商半群的良定义判据）。 设 ρ 是 S 上等价关系，在类集合 S/ρ 上规定 [a]·[b] = [ab]。则这个规定良定义 ⟺ ρ 是同余。 证明。（⟸）若 a ρ a′、b ρ b′，由右同余 ab ρ a′b，再由左同余 a′b ρ a′b′，传递得 ab ρ a′b′，即 [a][b] = [a′][b′] 与代表元选取无关。（⟹）取 b′ = b、a′ ρ a：良定义给 ab ρ a′b（右相容）；对称地取 a′ = a 得左相容。□ 结合律在商里自动承自 S；[1]（若 S 有单位元）是商的单位元——同余恰是「使商成为半群」的全部代价。

数值剧本 H3–H4 在 T2 = {id, (10), c0=(00), c1=(11)} 上把这句话算成了账本：4 元半群共 15 个划分（Bell 数 Bell(4)=15），逐个检验左右相容性与商的良定义性：

T2 全部 15 个划分的分类（H3 段）： 左同余 7 个、右同余 4 个、既左又右（同余）4 个、商良定义 4 个 ⟹ 良定义的划分 = 同余的划分（计数全等，定理 7.2 的数值化身） ⟹ 左同余 ⊋ 同余：7 > 4，存在左相容但商做不成的划分 H4 显式反例：划分 {c0,id} | {c1} | {s} a = c0 ρ a′ = id，取 b = b′ = s： ab = c0·s = c0，a′b′ = id·s = s —— [c0·s] ≠ [id·s]，商乘法失灵

命题 7.3（格林关系与同余的交汇）。 ① ℒ 是右同余：若 S1a = S1b，则 S1ac = (S1a)c = (S1b)c = S1bc——一行证明，连逆元都不用。② 对称地 ℛ 是左同余。③ 反向失灵：ℒ 一般不是左同余、ℛ 一般不是右同余——所以格林关系一般不是同余，「ℋ-格」不能直接拿来做商。

H1–H2 段在 T3 上把这三句全部逐对验证（273 = 19 683 个三元组），并找到显式反例：

𝓛 反例（a𝓛b 但 ca ≁ cb）：a = 112, b = 113 同核；取 c = 112， ca = 111，cb = 112 —— 核不同，左相容被撕开 𝓡 反例（a𝓡b 但 ac ≁ bc）：a = 112, b = 121 同像；取 c = 112， ac = 111，bc = 112 —— 像不同，右相容被撕开 ⟹ 「右同余」严格弱于「同余」：相容一边不够，必须两边都焊死

定义 7.4（Rees 同余与 Rees 商）。 设 I 是 S 的理想（SI ⊆ I 且 IS ⊆ I）。定义 ρ_I：I 中一切元素互相等价，I 外每个元素自成一类。则 ρ_I 是同余（直接验证：若 a ρ b，要么 a, b ∈ I，此时 ac, bc, ca, cb 全落回理想 I——理想正是「乘不出去」的接收端；要么 a = b，平凡）。商 S/ρ_I 称为 Rees 商，记 S/I——理想被整类压扁成一个「零」。

数值剧本 H5 段取 T3 的理想 I = {秩 ≤ 2}（21 个元素——低秩在复合下只降不升，正是理想），算出 Rees 商的完整乘法表：

T3 / ρ_I：7 元 = 0（= I 整类）∪ 六个单点类 [σ]，σ ∈ S3（H5 段输出） 0 id (132) (213) (231) (312) (321) 0 0 0 0 0 0 0 0 id 0 id (132) (213) (231) (312) (321) (132) 0 (132) id (312) (321) (213) (231) (213) 0 (213) (231) id (132) (321) (312) (231) 0 (231) (213) (321) (312) id (132) (312) 0 (312) (321) (132) id (231) (213) (321) 0 (321) (312) (231) (213) (132) id ⟹ 0 行 0 列全 0（吸收律），右下 6×6 块恰是 S3 的群表； 商有单位元 [id] 但不是群（0 无逆）——「带零化的群」。

注 7.5（Rees 商的几何读法）。 秩 ≤ 2 的全部「退化过程」被压成单点 0，顶层 S3 原封不动——Rees 商是「把所有不可逆一刀切掉」的商结构。对偶地，单侧理想 I 取 Rees 商后 𝒟-类一层层剥落；这正是完全单半群 Rees 矩阵表示（Howie 第三章）的入门直觉：蛋盒的一个 𝒟-类配上零，就是一个 Rees 商 Suschkewitsch 粒子。

定理 7.6（同态核与第一同构定理）。 设 f : S → T 是半群同态。则 ker f = {(a, b) : f(a) = f(b)} 是 S 上的同余（f(a) = f(b) ⟹ f(ac) = f(a)f(c) = f(b)f(c) = f(bc)，右相容；左对称），且 S/ker f ≅ im f（[a] ↦ f(a) 是良定义的同构）。 群里这是 §1.5 的同构定理（正规子群 = 核）；半群里它反过来说话：同余恰是「某同态的核」——同余格 Con(S) 的每个成员都来自一个商投射。

H6 段在 T2 上枚举全部 256 个候选映射，筛出 7 个半群同态，按像大小分为 {1: 3, 2: 2, 4: 2}（三个常值同态、两个到 C2 型商的同态、两个自同构——T2 的自同构 = 恒等与 c0↔c1 对调）。逐一验证：每个同态的核都是同余（左右相容），且核类数 = 像基数——第一同构定理的最小完整数值标本。

注 7.7（本册两条线的会师）。 格林关系把 T3 分成 10 个 ℋ-格（分类学），同余把 T3 压成 7 元 Rees 商（代数学）——两个商世界的算子不同：ℋ-格按「可达性」分类却做不成商（命题 7.3），理想 Rees 类不懂蛋盒却做成商（定义 7.4）。半群理论的深层定理（如 Rees–Suschkewitsch 表示）正是把两者焊接起来：完全单半群 = 蛋盒 𝒟-类 + Rees 矩阵粘连——分类学提供骨架，同余提供粘合剂。

八术语考古与阅读指引

8.1 格林关系的来历

教材接口（结语）。 第一章节里「正规子群 → 商群 → 同构定理」（§1.4–1.5）与「凯利嵌入 Sn」（定理 1.7.3）两条主线的半群化版本，正是本册的二、四、六、七节：同余整体指定（其一观察 2.9）在格林关系里有了「蛋盒」的几何载体；第七节再补上「商」的一翼——正规子群的半群化身是同余，理想压零是 Rees 商；凯利嵌入的幺半群版把我们放进 Tn；而「群 = 含幂等 ℋ-格 = eSe 单位群」把群的每次出现都钉死在幂等元旁——读回第一章，Sn ≤ Sm 之类嵌入可以重新理解为「Tn 群栈中两层之间的最大子群包含」。这就是补充读本的意义：把教材定理放在更大的地形图上，它们的位置会自己说话。

8.2 三句话总结

① 群论用「逆元」定义等价（陪集、共轭），半群没有逆元，格林用「互相可达的理想」重新定义等价——可达性取代可逆性，成为无逆世界的结构语言。 ② 蛋盒图里，群出现在含幂等元的 ℋ-格（格林定理：H_e = eSe 的单位群，极大子群）；Tn 因而是一架以 S1, S2, …, Sn 为群块的群栈——Sn 不再孤独，它是一整摞对称群的顶层。 ③ 逆半群把凯利定理部分化：整体对称的容器是 S_X，局部（部分）对称的容器是 I_X——第一章讲整体，逆半群讲局部，Vagner–Preston 定理是连接两者的桥。

8.3 阅读指引

《代数学基础（下·第 2 版）》第一章补充读物 群论专题读本·其二 ｜ 九章格数学 ｜ 2026