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九章格数学 PhiloMath · K2C · 抽象代数配套

群论专题读本 · 其三

欧氏平面上的变换群与几何图形的对称群

群论专题读本 · 其三《代数学基础（下·第 2 版）》第一章补充读物

本册定位。 第一章的群，多数时候是「置换群 Sn 的子群」（凯利定理，§1.7）。但群还有一个更古老的出身：几何图形的对称——把正三角形转 120° 仍是它自己，这「仍是自己」的变换全体成群。本册把镜头对准欧氏平面：全部保距变换组成欧几里得群 E(2)（第二节：它是 O(2) 与平移群 ℝ2 的半直积，§1.5 习题里的 A1 就是一维版）；正 n 边形的对称群 Dn 是 E(2) 里最重要的有限子群（第三节）；而一整条定理说：平面上的有限对称群只有 Cn 与 Dn 两种家族（第四节）。最后一节问一个反方向的问题：哪些旋转能「铺满」整张平面（保持一个格）？答案 1、2、3、4、6——晶体学限制，雪花的 6 重对称即由此而来。

一等距太少：为什么正方形做不到「任意置换」

正三角形的三个顶点可以被它的对称任意搬动：旋转 120° 给出 3-循环，沿一条对称轴翻转给出对换——三种旋转 × 三种翻转正好凑齐 3! = 6 个置换，三角形的最全对称群就是 S3。到了正方形，四个顶点若「允许任意置换」应有 4! = 24 种，可正方形的对称只有 8 种（旋转 4 个、翻转 4 个）。差别不在图形更复杂，而在：把图形搬回自身的变换必须是「刚性」的——任意两点的距离不许变。能保持距离的平面变换（等距 / 保距变换）太少，以致 24 种排列里只有 8 种能由等距实现。本册就研究这「不多的一群」：E(2) 及它的有限子群。

定理 1.1（平面等距的结构，复数表示）。 把平面点写成复数 z = x + iy。每个保距变换恰有下面两种形状之一：

保向（direct，o = +1）：　z ↦ a·z + b　　　反向（opposite，o = −1）：　z ↦ a·conj(z) + b其中 |a| = 1（a 是单位复数，掌管旋转/镜像的「线性部分」），b ∈ ℂ 是平移部分。若 |a| ≠ 1，映射会伸缩距离，不再是等距——「a 在单位圆上」正是保距的代数签名。 分类判据。 设 a ≠ 1 时记 z0 = b/(1−a)（唯一不动点）。按不动点的形状与保向性，恰好五类： ① o = +1、a = 1、b = 0：恒等（全平面不动）；② o = +1、a = 1、b ≠ 0：平移（无不动点）；③ o = +1、a ≠ 1：旋转——绕中心 z0 转 arg(a) 角（恰 1 个不动点）；④ o = −1 且 b + a·conj(b) = 0：反射——轴是直线（无穷多不动点）；⑤ o = −1 且 b + a·conj(b) ≠ 0：滑移反射——先沿轴反射、再沿轴平移 ℓ = |b + a·conj(b)|/2，无不动点。 要点：反射/滑移反射的判别式 b + a·conj(b) 正是 f2 的平移向量——反射平方是恒等，滑移反射平方是（非零）平移。代数上 f2 的类别把两类「带镜子」的变换区分开。

注 1.2（为什么判别「好使」）。 脚本 classify() 按上面判据对 11 个手工样例逐一分类并核验不变量（A3）：旋转的「中心不动」、反射的「沿轴不动、垂直分量反号」、滑移反射的「f2 恰平移 b + a·conj(b)」。样例覆盖三种旋转角（90°、60°、137.5°）、三条不同位置的反射轴（y = 1、过原点 30° 轴、距原点 2 的 45° 轴）与两条滑移反射轴（0°、45°），11 例全对；距离保持性与「复合闭式 = 逐点复合」也各自随机点对核验（A1、A2）。数据表 1 节选：

样例 类别 不变量（由判据算出） 旋转90° (b=1+i) 旋转 中心 (0.00, 1.00)，转角 90.0° 旋转60° (b=1j) 旋转 中心 (−0.87, 0.50)，转角 60.0° 反射 轴30° 过原点 反射 轴过 (0.00, 0.00)、方向角 30.0° 反射 轴45° 距原点2 反射 轴过 (−1.41, 1.41)、方向角 45.0° 滑移反射 沿x轴滑3 滑移反射 轴方向 0.0°、滑移量 3.0（f2=平移 6.0） 滑移反射 轴45° ℓ=2 滑移反射 轴方向 45.0°、滑移量 2.0（f2=平移 4.0）

五类的名字就是五类「刚体动作」：平移与旋转保持「左右手」（保向），反射与滑移反射把左右手互换（反向）。后面会看到，保向/反向是一个群同态 E(2) → {±1} 的两侧——它把第二章之前第一章的「符号」「奇偶」直觉带进了几何。

教材接口。 ① 凯利定理（§1.7）说「每个 n 阶群 ⊂ Sn」——那里容器是一切置换；本册换一个容器：几何对象的对称群 ⊂ E(2)，而 E(2) 里可容纳的有限群少得多（第四节分类定理），这正是「对称」一词比「置换」更挑剔的代数表达。② 平移/旋转的「参数」b 与 a 连续变化，说明 E(2) 是无限群——它给第一章「有限群为主」的世界开了一扇通往连续群（Lie 群）的窗，E(2) 是其中最简单的例子（旋转群 SO(2) 就是圆周 S1）。

二E(2) = O(2) ⋉ ℝ2：线性部分与平移的「半直积」分工

把等距 g 看成一对数据「(a, b) + 正反号 o」后，复合规则可以闭式计算：若 g1 保向，g1∘g2 就把 g2 的平移 a1·d2 转一下再叠加 b1；若 g1 反向，还要把 g2 的平移共轭。脚本 A1 用随机样例核验了闭式与逐点复合一致。更重要的是结构上的观察：

命题 2.1（E(2) 是半直积）。 记 T = {全体平移} ≅ (ℝ2, +)，O(2) = {固定原点的等距}（旋转与过原点反射）。则： (i) T 是正规子群：对任意 g ∈ E(2)、平移 t，g∘t∘g−1 仍是平移（几何上：先搬走、平移、再搬回，还是平移，只是方向被 g 转了一下）——脚本 C4 用 40 个随机 g 验证「共轭后 a = 1、仍保向」恒成立； (ii) 每个等距唯一分解为「先线性后平移」：g = (a, 0, o) ∘ (平移)，C5 逐点验证； (iii) 于是 E(2) = O(2)·T、O(2) ∩ T = {1}、T ◁ E(2)，写作 E(2) ≅ O(2) ⋉ ℝ2（半直积：T 正规，O(2) 通过共轭作用在 T 上——把平移向量旋转或镜像）。

注 2.2（⋉ 的含义复习）。 第一章里的半直积（§1.5）是「外直积的放宽」：直积要求两因子互相交换，半直积只要求一个是正规子群、另一个通过自同构作用在它上。E(2) 是几何给出的最自然的半直积：线性部分转一下，平移部分跟着转。复合公式 (A, b)(C, d) = (AC, Ad + b) 里 Ad 一项就是「C 的平移被 A 搬动后再叠加」。

保向等距全体 E+(2)（刚体运动群，又称 SE(2)）是「o = +1」的核：E(2) → {±1}, g ↦ o(g) 是群同态（A1 验证了 o(g∘h) = o(g)o(h)：保向∘保向保向、保向∘反向反向、反向∘反向保向——与「奇数 × 奇数 = 偶数」同一张表），核正是 E+(2) = SO(2) ⋉ ℝ2。于是「能不能用左手手套够到右手」——平面可定向性——被编码成一个二阶商群 C2。

教材接口。 §1.5 习题里的仿射群 A1 = {x ↦ ax + b : a ≠ 0}（一维）乘法 (a, b)(c, d) = (ac, ad + b)（脚本 C6 复验）就是本结构的 1 维镜像：线性部分 ℝ× 作用在平移 ℝ 上，A1 = ℝ× ⋉ ℝ。把 A1 的线性部分从「一切非零实数」收窄到「±1」（不许伸缩），就得到一维等距群 E(1) = {x ↦ x + b, x ↦ −x + b} = C2 ⋉ ℝ——一维世界没有旋转，只有平移和反射。半直积这条线将在其九（范畴论意义下的自由对象）里以更抽象的面貌重逢。

三Dn：正 n 边形的对称群 = Cn ⋊ C2

正 n 边形的对称群记为 Dn（dihedral group，二面体群），它是本册的主角、也是有限群论最常被引用的具体例子之一。取 r = 绕中心转 2π/n（保向），s = 沿一条过中心与某顶点的轴反射（反向），则每个对称都是「先转若干次、至多再翻一次」：

定理 3.1（Dn 的生成-关系与元素表法）。 Dn = ⟨r, s⟩ 由两条生成元、三条关系刻画：

rn = 1，　s2 = 1，　srs = r−1　（等价 (sr)2 = 1）并且每个元素唯一写成 rk（k = 0,…,n−1）或 s·rk 之一，故 |Dn| = 2n。关系 srs = r−1 的几何含义最直观：先翻、再转、再翻回来 = 朝反方向转——镜子把旋转的方向反过来了。脚本 B1/B2 对 n = 1…10 逐一验证：闭包恰 2n 个互异元素、三条关系全成立、表法唯一。 半直积眼光。 旋转子群 Cn = ⟨r⟩ 指数 2（因而自动正规，§1.4），反射 s 在 Cn 上的共轭作用 s·r·s = r−1 是「取逆」自同构；除 n = 2 外它非平凡，故 Dn = Cn ⋊ C2 是真半直积（不是直积）。

注 3.2（小 n 的例外——几何与代数在此对齐）。 ① D3 ≅ S3：n = 3 时 2n = 6 = 3!，正三角形的对称恰好穷尽三个顶点的全部置换。脚本 B3 给出显式同构：φ(r) = (012)、φ(s) = (12)（s 固定 0 号顶点、互换 1、2 号顶点），36 个乘积全部保持；数据表 5 列出六行对应（s ↦ (12)，sr ↦ (02)，sr2 ↦ (01)）。② D1 ≅ C2：n = 1 时「旋转 r」是恒等，群只剩 {1, s}（B4）。③ D2 ≅ V4 ≅ C2 × C2：n = 2 时 r 是 180° 旋转，C2 的自同构群平凡，半直积退化为直积；四个元素全二阶、两两交换（B5）——「正 2 边形」可看成一条线段的两端，故矩形（含线段形）的对称群就是 V4。④ D3 是唯一满足 2n = n! 的 n ≥ 3（n = 3），故「全排列群被等距实现」是三角形的特权。

结构指标一览（用 D6 当标本）。 元素阶型：D6 有 12 个元素，按阶分布为 {1:1, 2:7, 3:2, 6:2}——旋转部分 C6 的阶型 {1:1, 2:1, 3:2, 6:2} 再加 6 个二阶反射（B6）。中心：偶 n 时 Z(Dn) = {1, rn/2}（rn/2 是 180° 旋转，与一切旋转反射都交换），故 |Z(D6)| = 2、|Z(D4)| = 2；奇 n 时中心平凡，|Z(D5)| = 1（B7）。这一组数字让 Dn 成为复习 §1.2–1.6 全部概念的「12 元标本」：子群、指数 2 正规子群、中心、共轭类、元素阶型，一应俱全。

反射轴：几何的计数 = 代数的共轭类。 正 n 边形有 n 条对称轴。把轴按「过不过顶点」分类（F1、数据表 4）：n 偶时 n/2 条过对顶点、n/2 条过对边中点；n 奇时每条轴都同时过「一个顶点 + 对边中点」，只有一类。轴角可写成 kπ/n（k = 0,…,n−1）：轴过顶点 ⟺ k 是偶数（n 偶时），n 奇时则全部过顶点。代数这边，反射的共轭类恰好按轴类划分（F2）：n 奇 → 1 个共轭类含全部 n 条反射；n 偶 → 2 个共轭类各 n/2 条——数据表 4 里 D5 的类大小 [5]、D6 的 [3, 3]。

D5：轴角 0°, 36°, 72°, 108°, 144°（全部经过顶点）——反射 1 个共轭类，大小 5 D6：轴角 0°, 30°, 60°, 90°, 120°, 150°——V 类 3 条（过对顶点）+ E 类 3 条（过对边中点） 反射 2 个共轭类，大小 [3, 3]；|Z(D6)| = 2，|Z(D5)| = 1

教材接口。 Dn 把第一章几乎每个定义都「落在一张图上」：指数 2 正规子群 Cn（§1.4 商群 G/Cn ≅ C2 存在）、中心（§1.3）、共轭类 = 轴类（§1.3）、生成-关系表示（§1.2 之后的凯利表也可用关系压缩）。您在两部工坊里已亲手验证过 Dn 的群表与凯利图（《二面体群工坊》），本册的 B 段断言与那部验证器互为对拍。另外 Dn 的阶型、中心数据在其五（自同构群）还要再用：Aut(Dn) 的结构正由「哪些对称能保持轴类」读出。

四有限点群分类：平面上的有限对称只有 Cn 与 Dn 两家

第三节的 Dn 与纯旋转群 Cn（只转不翻）都是 E(2) 的有限子群。有没有别的？这一节的核心定理说：没有了。

定理 4.1（有限点群分类；常称 Leonardo 定理）。 E(2)（或 O(2)）的每个有限子群都共轭于某个 Cn（n = |G|，纯旋转）或 Dn（|G| = 2n，含反射）。换言之，平面上固定一点的有限对称图形，其对称群只能是「转圈」或「转圈 + 翻面」两种家族。 证明骨架（三段）。 ① 找公共不动点（平均化技巧）：G 有限，任取一点 p，作「轨道平均」c = (1/|G|)·Σg∈G g(p)；对任何 h ∈ G，h(c) = (1/|G|)·Σ hg(p) 仍遍历整个轨道（左乘是置换），故 h(c) = c——c 被 G 全体固定。把 c 平移到原点，G 就成了 O(2) 的子群。② 旋转部分是循环群：G ∩ SO(2) 是单位圆 S1 的有限子群，取最小正转角 θ 的元素 r；任何转角 φ 写 φ = mθ + ρ（0 ≤ ρ < θ），ρ 对应的元素 r' = g·r−m ∈ G，由 θ 最小知 ρ = 0——一切转角都是 θ 的整数倍，旋转部分 = Cn（n = 2π/θ）。③ 有反射就翻倍：行列式同态 G → {±1} 的核是旋转部分 Cn；若 G 含反射 s 则同态满、Cn 指数 2，而 s·r·s = r−1 保证生成关系，故 G = Dn。□ 数值面：脚本 C1/C2 验证 n = 1…8 时 Cn、Dn 的阶、类型、旋转子群循环性全部符合；C3 换一个方向「搜证」——在 D6 里任取 6 种生成元组合（⟨r2⟩、⟨r3⟩、⟨r2,s⟩、⟨r3,s⟩、⟨s,sr⟩、⟨sr2⟩），闭包无一例外是 Cm 或 Dm（m = 1,2,3,6）：C3、C2、D3、D2(≅V4)、D6、D1(≅C2)。

注 4.2（三个推论）。 ① GL(2,ℝ) 的有限子群也可共轭到 O(2)（用「在 G 上平均化内积」得到 G-不变内积），故平面上的有限线性群也只有 Cn / Dn——分类其实与「保距」无关，是「有限性」本身逼出来的。② 于是 S3 能在平面「长出来」只因它是 D3；S4（24 阶）不能成为任何平面图形的对称群——想看到 S4 需要三维（正四面体）或更高维。③ Dn 总有正规子群 Cn（指数 2），故除素数阶 C_p 外，平面上遇不到 §1.6 那种单群——「平面的对称世界是温和的、可解的」。④ n = 1, 2 的退化例外已在注 3.2 见过：分类定理的名单 {C1, C2, C3, …, D1, D2, …} 里 D1 = C2、D2 = V4 与 C2、V4 重叠，写全时要把重复的剔除（第五节用到「去重后的十种点群」）。

教材接口。 定理 4.1 的第一段「平均化」是第一章没讲、但极其重要的群论技巧：用群作用造不变量——它会在其五（自同构群）、其六（用 G-set 重写群作用）反复出现。第二段的「有限子群 ⊂ 圆群 ⇒ 循环」与 §1.8 里「有限子群的生成元结构」精神一致：在圆上，有限 = 由最小正角生成。

五轨道-稳定子：让 D6 在正六边形上「亲自数一遍」

§1.7 的轨道-稳定子定理说：群 G 作用在集合 X 上时，x 的轨道长 × 稳定子阶 = |G|。定理是抽象的，本册让 D6（12 阶）作用在正六边形的各类「子结构」上，把乘法表变成一张计数表——同一组 12 个对称，作用对象越「粗糙」，轨道越短、稳定子越大（数据表 3）：

作用对象 轨道长 稳定子阶 轨道长 × 稳定子阶 顶点 (6 个) 6 2 12 边 (6 条) 6 2 12 长对角线 (3 条) 3 4 12 旗 (12 个有向边) 12 1 12

每一行都是一次「守恒律」的实例（E1–E4 断言全部成立）： 顶点行。 D6 把 6 个顶点传递地搬动（轨道 6）；固定某个顶点的对称是「恒等 + 过该顶点的反射」，稳定子 ≅ C2，于是 6 × 2 = 12。 边行。 同理，固定一条边的稳定子是「恒等 + 过该边中点的反射」。 对角线行。 正六边形的 3 条长对角线（对径点对）在 D6 下仍传递，但稳定子胀大到 4 阶：固定「这对对径点」的对称包括 180° 旋转（r3，把两点互换）、过这对点的反射轴、以及与它垂直的反射轴——四者组成 V4。对象越粗（一对点 vs 单点），能「不破坏它」的对称越多。 旗行。 旗 = 「顶点 + 以它为端点的边」（用 12 条有向边代表）。D6 传递地作用在 12 面旗上，且没有任何非平凡对称固定一面旗（固定一个顶点又固定它的一条邻边 ⟹ 固定整条边 ⟹ 恒等）。稳定子平凡 ⟹ 轨道长 = |G| = 12——这正是凯利正则作用的几何版：把「群元素」换成「旗」，左乘换成了「搬旗」。§1.7 凯利定理说每个群嵌入 Sn（n = |G|）；这里 n = 12 面旗给出 D6 ≤ S12 的一个具体嵌入。

注 5.1（忠实性与核）。 作用是否「可靠」（忠实）取决于所有稳定子的交集：∩ stabilizer = 核。E5 验证 D3 作用在三角形顶点上核平凡（只有恒等固定全部三点）——这给出 D3 ≅ S3 的第二个证明（第一个在 B3 的显式 φ）。一般地：核 = 所有固定所有点的元素。五节里「旗作用核平凡」是普适的：只要 G 作用在自身（左乘）上，稳定子全为 {1}，核必平凡。

教材接口。 轨道-稳定子是 §1.7 的核心定理；本节把它的四种形态（顶点/边/对角线/旗）在同一条群上排成一行，凸显「对象越粗、稳定子越大、轨道越短」的此消彼长——这正是其六（G-set 语言）的起点：同一群的不同作用 = 不同的 G-set，轨道分解 = G-set 的「不可约分解」。

六晶体学限制：能「铺满」平面的旋转只有 1、2、3、4、6 重

第四节的 D5 明明存在——正五边形就有五重旋转对称。那为什么雪花没有五重对称、雪花的旋转对称只有六重？区别在于：雪花（晶体、墙纸、蜂窝）不仅对称，还周期——它沿两个独立方向无限重复，重复的骨架是一个二维格（lattice）Λ。于是问题变成：哪些旋转能同时保持一个格？这就是晶体学限制（crystallographic restriction）。

定理 6.1（晶体学限制）。 若旋转 2π/n 保持某个二维格 Λ（即把 Λ 的每个格点映到格点），则 n ∈ {1, 2, 3, 4, 6}。 证明（两行代数）。 ① 在格基（两个线性无关的格向量）下，保持 Λ 的旋转是整系数矩阵，且有限阶（转 n 次回恒等）。② 二阶整矩阵 A 若满足 An = I，其特征值是单位根、最小多项式是 ≤ 2 次的整系数多项式——只能是分圆多项式 Φ_m 且 deg Φ_m ≤ 2，即 m ∈ {1,2,3,4,6}；等价地 迹 = 2cos(2π/n) 必须是整数。查表（D1，数据表 2）：2cos(2π/n) 对 n = 1,…,12 依次是 2, −2, −1, 0, 0.618, 1, 1.247, 1.414, 1.532, 1.618, 1.683, 1.732——只有 n ∈ {1,2,3,4,6} 取整数值，n = 5 时 0.618 ∉ ℤ，五重旋转被「迹不是整数」一行否决。□ 数值旁证：脚本 D2 穷举系数 −2…2 的全部 625 个整数矩阵，凡有限阶者阶数集合恰为 {1,2,3,4,6}，无 5 阶、无 7 阶；D3 给出 6 阶代表 ((0,−1),(1,1))——它正是旋转 60° 在某个格基下的矩阵（迹 = 1 = 2cos60°）。

数据表 2：2cos(2π/n)（n = 1..12） n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2cos(2π/n) 2.000 −2.000 −1.000 0.000 0.618 1.000 1.247 1.414 1.532 1.618 1.683 1.732 整数? 是 是 是 是 否 是 否 否 否 否 否 否 各格保持旋转角：方 [0,90,180,270]（C4）｜ 长方 [0,180]（C2）｜ 三角/六角 [0,60,…,300]（C6）

格的实验。 脚本 D4–D6 直接检验三种格的「可旋转角」：方格子 Z2 保持 90° 倍数的旋转（C4）而 45° 把它打乱；长方格只保持 180°（C2），90° 不行；三角/六角格保持 60° 倍数（C6），30° 不行。可见：格越「对称」（方、六角），允许的旋转越多，但天花板是 6。把定理 6.1 与第四节名单合并、剔除退化重复，得到十种晶体学点群：C1、C2、C3、C4、C6 与 D1、D2、D3、D4、D6。它们与 5 种布拉维格型组合、再按「带饰/墙纸」的平移方式排列，就得到一维的 7 种带饰群与二维的 17 种墙纸群——您在《七彩镶边设计工坊》与《壁纸设计工坊》里用画笔亲手画出过的全部对称类型，其「允许名单」正是本节定理 6.1。

注 6.2（达芬奇 vs 晶体学：一个常见的混淆）。 常说的「Leonardo 定理」指第四节的点群分类（有限对称图形只可能是 Cn / Dn，n 不限）——它不禁止五重对称：正五边形、海星、许多花朵都有 D5。真正排除五重的是晶体学限制（本节），它的前提是「平移周期重复」。1982 年谢赫特曼在急冷铝锰合金里发现五重对称衍射时，整个晶体学界震动，正因它「违反」了 6.1——后来明白：准晶允许五重序，代价是放弃严格的平移周期（无公度 / Penrose 平铺）。所以定理 6.1 的精确表述应带上前件：在「有格」的世界里没有五重旋转。

教材接口。 定理 6.1 是第一章群论与「矩阵表示」的一次天然接轨：旋转保持格 ⟹ 整矩阵 ⟹ 特征多项式（线性代数的语言）⟹ 分圆多项式次数限制。这条「群 → 表示矩阵 → 代数数论」的路线图，是其四（用群论看线性方程组）与其五（自同构）共同的地基；分圆多项式 Φ3、Φ4、Φ6 的名字，也将在第二章多项式理论里正式登场。

七术语考古与阅读指引

7.1 名词与历史的来路

教材接口（结语）。 回看第一章：凯利定理（§1.7）把抽象群放进 Sn——「一切置换」；本册把几何对称群放进 E(2)——「刚性变换」，并证明后者只容得下 Cn / Dn 两家（第四节），若再要求周期则只剩 1、2、3、4、6（第六节）。于是第一章那些抽象对象（S3 = D3、Cn、V4、半直积、正规子群、轨道-稳定子）全部在这张平面上找到了「看得见」的家。下一册（其四）将沿「线性部分」这条线索进入矩阵：用群论重看线性方程组的解集结构——E(2) 的半直积与仿射群 A1 正是那里的引路人。

7.2 三句话总结

① 平面等距 = 复数仿射映射 z ↦ az + b 或 a·conj(z) + b（|a| = 1），只有恒等/平移/旋转/反射/滑移反射五类；它们组成 E(2) = O(2) ⋉ ℝ2，其中「保向」是一个到 C2 的群同态。 ② 固定一点且有限 ⟹ 对称群只能是 Cn 或 Dn（点群分类）；Dn = ⟨r, s | rn = s2 = (sr)2 = 1⟩ = Cn ⋊ C2，正三角形的 D3 恰为 S3，而轨道-稳定子定理在六边形上给出 6×2 = 3×4 = 12×1 = 12 四行守恒表。 ③ 若再要求对称保持一个格（周期图形），旋转角被迹条件 2cos(2π/n) ∈ ℤ 限制为 n ∈ {1,2,3,4,6}——晶体学限制；十种点群排出一维 7 种带饰群与二维 17 种墙纸群，五重对称被逐出「有格」的世界（准晶是放弃格的例外）。

7.3 阅读指引

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