二阶魔方（Pocket Cube）没有棱块、没有中心块——只有 8 个角块。这让它成为最纯净的"置换群 + 扭转"教材：整个魔方的数学状态，就是「每个角块在哪（置换）+ 每个角块拧了多少（扭转）」。
每个角块按它的"家"命名，位置同理。转动一层 = 该层 4 个角块轮转（一个 4-循环）+ 其中若干块被拧了 120°。
| 位置 | URF | UFL | ULB | UBR | DFR | DLF | DBL | DRB |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 坐标 (x,y,z) x→R y→U z→F | +,+,+ | −,+,+ | −,+,− | +,+,− | +,−,+ | −,−,+ | −,−,− | +,−,− |
| 记号 | 含义 | 例子 |
|---|---|---|
| σ | 角块置换：位置 p 上放的是哪个块（8 元置换） | σ = (0 3 2 1)(4 7)(5)(6) |
| o = (o₀,…,o₇) | 扭转向量：每块拧了几个 120°（0/1/2） | o = (1,2,0,0,0,0,0,0) |
| Σo mod 3 | 扭转总和（模 3）—— 全剧最重要的不变量 | 1+2+0+…+0 = 3 ≡ 0 |
| U R F D L B | 顺时针转该面 90°；' 逆时针，2 180° | R U R' U' |
| 二阶 2×2×2 | 三阶 3×3×3 | 十五格（第七部） | |
|---|---|---|---|
| 部件 | 8 角块 | 8 角 + 12 棱 | 15 块 + 空格 |
| 状态数 | 3,674,160 = 7!·3⁶ | 4.3×10¹⁹ | 10,461,394,944,000 |
| 不变量 | 扭转和 ≡ 0 (mod 3) | 扭转和 + 棱翻转和 + 奇偶绑定 | sgn(σ)·(−1)^taxicab |
| 置换奇偶 | 自由（奇偶都能达成） | 角与棱奇偶必须相同 | 被空格位置锁死 |
| 能全量探索吗 | 能！本页实时测绘 367 万态 | 不能（太多） | 不能（太多） |
用鼠标（或手指）拖动魔方改变视角；用按钮转动六个面。仪表实时直播每个角块的置换与扭转。📱 手机版：手指拖魔方即转视角（画板已禁页面滚动），面转动按钮与仪表依次排在下方。
每桩案子给您一个魔方局面（可以拖动看视角）。判断：可解（存在转动序列复原）还是不可解（永远差一个宇宙）？判据只有一条：Σ 扭转和 (mod 3)。注意：有几桩会用三阶魔方的"常识"骗您。
每次面转动让该面 4 个角块移动并扭转。对六个面逐一验证（本页自检也做了）：U、D 转动根本不改变扭转（Δ=0）；R、L、F、B 转动给 4 个角各 +1 或 +2，四个扭转增量之和恒为 3 或 6——都是 3 的倍数。所以任何转动序列后 Σ (mod 3) 不变。复原态 Σ=0，于是：
固定 DBL 角后，魔方群 G 的阶 = 7!·3⁶。它有一个正规子群 N = 只扭转、不换位的扭转群（Σ≡0 的 3⁶ 个扭转组合），商群 G/N ≅ S₇（位置全排列）。更妙的是分裂：因为整个空间所有状态都可达，「任意排列 π + 全零扭转」(π, 0) 都在 G 里——这些元素自成一个是 S₇ 拷贝的子群。所以：
G ≅ (Z₃)⁶ ⋊ S₇
「复原最少步数」取决于您允许哪些转动当"一步"。本页对 3,674,160 态做了三次全量 BFS（Python 验证器 + 本页 JS 现场复算）：
| 度量 | 允许的一步 | 直径（God's number） | 最难态个数 |
|---|---|---|---|
| 3 生成元 QTM | 只能转 U、R、F 三面（固定参照） | 19 | — |
| 6 面 QTM | 六面各转 90°（允许整体重摆） | 14 | — |
| 6 面 HTM | 六面转 90°/180° 都算一步 | 11 | — |
只许用 U、R 两种转动（不许用逆！），能到达的状态构成子群 ⟨U,R⟩。本页现场 BFS 这个子群并按深度分层画成同心圆网络（绿边 = ×U，红边 = ×R）——这就是"魔方状态图"的微缩版。惊喜：它的置换部分不是整个 S₆——两个共享两点的 4-循环只生成 120 阶（≅ S₅）的置换群，所以 |⟨U,R⟩| = 5!·3⁵ = 29,160，远小于全群的 7!·3⁶。
本页全部结论先经 Python 验证器 validate_cube2.py 验证（3D 几何推导转动表 → 三次全量 BFS → 十案逐一核验），页面加载时 JS 引擎再复算一遍（见页脚自检）。没有一条是背书背来的。
| 环节 | 活动 | 用时 |
|---|---|---|
| 导入 | 规则卡对比表：二阶 vs 三阶 vs 十五格——"不变量"串起整个系列 | 10 min |
| 探索一 | 转动工坊自由玩 10 分钟：盯 Σ 仪表，试图打破它（打不破） | 10 min |
| 探索二 | 🔧 单角扭转演示 → 讨论"为什么永远解不回" | 10 min |
| 高潮 | 🔁 两角对换挑战 + 上帝代打：三阶直觉的崩塌时刻 | 15 min |
| 侦探 | 十案小组竞赛（重点案 2、5、7、8） | 25 min |
| 定理 | 定理之家走一遍：计数推导 + 三张深度分布图 + ⟨U,R⟩ Cayley 图 | 15 min |
| 收尾 | 探究题 + 总结：什么样的量能当不变量？（为三阶/群同构埋伏笔） | 5 min |