三阶魔方（Rubik's Cube）= 8 个角块 + 12 个棱块 + 6 个中心块。中心块固定在核心支架上——它给整个魔方提供了永不移动的参照系：白心永远朝上，绿心永远朝前。于是三阶的数学状态 =「每个角块在哪 + 拧了多少」+「每个棱块在哪 + 翻没翻」。
| 部件 | 个数 | 位置坐标 | 朝向 | 记号 |
|---|---|---|---|---|
| 角块 | 8 | (±1,±1,±1) | 0 / 1 / 2（拧 0°、±120°） | cp, co |
| 棱块 | 12 | 恰一个零分量 | 0 / 1（翻 / 没翻） | ep, eo |
| 中心块 | 6 | (±1,0,0) 等 | 恒定 —— 参照系本体 | — |
| 记号 | 含义 | 例子 |
|---|---|---|
| cp / ep | 角块 / 棱块置换：位置 p 上放的是哪个块 | cp = (1,0,2,…) |
| co | 角扭转向量：每块拧了几个 120°（0/1/2） | co = (1,2,0,…) |
| eo | 棱翻转向量：每块翻没翻（0/1） | eo = (0,1,0,…) |
| U R F D L B | 顺时针转该面 90°；' 逆时针，2 180°（共 18 种基本转动） | R U R' U' |
| 二阶 2×2×2（第八部） | 三阶 3×3×3（本部） | 四阶 4×4×4 | |
|---|---|---|---|
| 部件 | 8 角 | 8 角 + 12 棱 + 6 中心 | 56 块（无固定中心！） |
| 状态数 | 3,674,160 | 4.33 × 10¹⁹（4325 亿亿） | 7.4 × 10⁴⁵ |
| 不变量 | 1 个（Σco ≡ 0） | 3 个（Σco、Σeo、奇偶绑定） | 更微妙（会"奇偶错乱"） |
| 置换奇偶 | 自由 | 角与棱必须同奇偶 | 内层转动能换单对 |
| 整体旋转 | ÷24（无参照系） | 不除（中心即参照系） | 又要 ÷24 |
| 能全量探索吗 | 能（上页 367 万态） | 不能——4.3×10¹⁹ 态，每态 1 纳秒也要 1370 年 | 不能 |
拖动魔方改变视角，用按钮转 18 种基本转动。三块仪表实时直播三大不变量——它们是三阶魔方的「物理定律」。📱 手机版：手指拖魔方即转视角（画板已禁页面滚动），转动按钮与仪表依次排在下方。
每桩案子给您一个魔方局面（可拖动看视角）。判断：可解还是不可解？判据三条：Σco ≡ 0 (mod 3)、Σeo ≡ 0 (mod 2)、sgn(cp)·sgn(ep) = +1。警告：有两桩专坑二阶老玩家。
对六个面逐一实测（下表由本页引擎现场计算）：U、D 转动不改变任何扭转/翻转；R、L、F、B 转动给该面 4 个角分配扭转增量，其和恒为 3 的倍数；F、B 转动给 4 条棱各 +1 翻转（和 ≡ 0 mod 2），R、L、U、D 不碰棱翻转；每个面转动对角块和棱块各做一次 4-循环（都是奇置换），奇偶乘积永远 +1。
把角块世界和棱块世界分开看：「角部分」合法状态有 8!·3⁷ 个（扭转和锁定）、「棱部分」有 12!·2¹¹ 个。如果两部分独立，总状态数应是 (8!·3⁷)×(12!·2¹¹) —— 但真实魔方群只有它的一半：奇偶绑定把两部分锁在同一个奇偶上。所以：
G 是 (角世界 × 棱世界) 中指数 2 的子群；若放开奇偶，完整世界还要 ×3×2（扭转、翻转自由）→ 指数 12
「任意状态 ≤ 20 步复原」（HTM）由 Rokicki、Kociemba、Davidson、Dethridge 于 2010 年用计算机穷举证明（约合 35 CPU 年）——4.3×10¹⁹ 个状态本页无法全量验证，这是诚实标注的文献结论。但两件事本页可以现场做：① superflip（全部 12 条棱原地翻转、其余全对）是著名的 God 态，其 20 步解序列可以现场逐帧复演；② 三阶太大画不出全图，但它的子群 半转群 ⟨U2,D2,R2,L2,F2,B2⟩ 只有 663,552 态——本页浏览器现场 BFS 测绘它的全空间地图：
| 求解者 | 策略 | 平均步数（HTM） | 最坏步数 |
|---|---|---|---|
| 🎓 学徒（本页现场） | 分层法 LbL：白十字→白角→中层→黄十字→黄角→末段 | — | — |
| 🌀 superflip 态 | 12 棱全翻（God 态之一） | — | 20（本页可复演其 20 步解） |
| 👑 上帝（最优解） | 全空间搜索（Rokicki et al. 2010，文献结论） | ≈ 17.7 | 20 |
半转群的 Cayley 图有 663,552 个节点、6 种颜色的边（U2/D2/R2/L2/F2/B2）——画不下全图，但可以现场画出 BFS 前 5 层（约 2600 个节点）：中心是复原态，每圈深一层。这就是「魔方状态网络」的微缩实景。
本页全部结论先经 Python 验证器核验（cube3_validator_a/b/c.py：3D 几何推导转动表 → 三不变量六面实测 → 300 随机打乱 LbL 全复原 → 十案逐一回放验证），页面加载时 JS 引擎再复算一遍（见页脚自检）。除 God 数 20（文献结论，明确标注）外，没有一条是背书背来的。
| 环节 | 活动 | 用时 |
|---|---|---|
| 导入 | 规则卡对比表：二阶 → 三阶 → 四阶——「参照系」与「不变量个数」的变化 | 10 min |
| 探索一 | 转动工坊自由玩：盯三个不变量仪表，试图打破（打不破） | 10 min |
| 探索二 | 🔧 单棱翻转 + 🔁 两角对换：两条「物理定律」当场被违反——讨论为什么救不回 | 10 min |
| 高潮一 | 🎓 学徒代打：六阶段分层复原全程直播，对比 God 数 20 | 10 min |
| 侦探 | 十案小组竞赛（重点案 2、7——二阶玩家的两个反转陷阱） | 25 min |
| 高潮二 | 🌀 superflip 现场复演 + 半转群 66 万态地图 BFS 直播 | 10 min |
| 定理 | 定理之家：计数四步推导 + 为什么二阶 ÷24 三阶不除 | 10 min |
| 收尾 | 探究题 + 总结：三条不变量如何各砍一个因子（3·2·2=12） | 5 min |