问题
t-(v,k,λ) 设计是一个 v 元点集 V 与若干 k 元子集（块）组成的族 B，使每个 t 元子集恰好落在 λ 个块中。参数给定后，什么时候这样的族真的存在？最容易写出的是整除条件（下文推导），柯克曼早在 1847 年就猜测：对足够大的 v，整除条件也是充分的。这一猜测的「渐近版」已由 Wilson（1972–75）与 Keevash（2014）解决；而有限情形的精确判据——对每个具体的 v 给出可计算的「存在 ⇔ 条件」——仍是设计理论的总目标。
主要概念
计数恒等式与柯克曼条件
设 B 是 t-(v,k,λ) 设计，含 ri = λ·C(v−i,t−i)/C(k−i,t−i)：固定任意 i 元子集 S，包含 S 的块数只依赖 |S|=i。取 i=0 得块数 b=r0，i=1 得每点次数。于是必要条件是：对每个 i=0,…,t−1，λ·C(v−i,t−i) 被 C(k−i,t−i) 整除。对 t=2 这化为经典两条：r = λ(v−1)/(k−1) 与 b = λv(v−1)/(k(k−1)) 皆为整数。再加 Fisher 不等式 b ≥ v（由关联矩阵秩的论证，见命题 1 的对偶形态）。这些条件统称柯克曼条件。
判据的三个层级
①必要：整除条件＋Fisher；②渐近充分：Wilson 定理——固定 (t,k,λ)，存在 v0，使 v ≥ v0 且整除条件成立 ⟹ 设计存在；Keevash 用吸收法把 ② 推到任意 t 并给出更一般的超图分解框架；③有限判据：对每个参数组直接判定——只在极少数族（如 Steiner 三元系）完成。Wilson 定理的 v0 是纯存在性的、大到无法显式，这正是 02 号问题要攻的对象。
主要命题与证明
命题 1（Steiner 三元系存在判据，柯克曼 1847；Bose 1939 补构造，完整证明） 2-(v,3,1) 设计存在 ⟺ v ≡ 1,3 (mod 6)。
证明 必要性：每点出现 r=(v−1)/2 个块，故 v 为奇数；块数 b=v(v−1)/6 须为整数，v 奇时即 3 ∣ v(v−1)，亦即 v ≡ 1,3 (mod 6)。充分性（v=6n+3 的 Bose 构造，完整给出）：取点集 ℤ2n+1×ℤ/3。因 2n+1 为奇数，映射 x ↦ 2x 可逆，故 «平均» 运算 x∘y=(x+y)/2 良定义，且是幂等交换拟群运算（x∘x=x；x∘y=x∘z ⟹ y=z）。取块族：①对每个第一坐标 x：块 {(x,0),(x,1),(x,2)}；②对每对 x≠y ∈ ℤ2n+1 与每个 c ∈ ℤ/3：块 {(x,c),(y,c),(x∘y,c+1)}。验证覆盖：任取两点 P,Q。若第二坐标相同（同为 c）而第一坐标 x≠y：①只含同第一坐标的点对，不覆盖 {P,Q}；②恰好一个块覆盖——块内需第三点第一坐标为 x∘y 且第二坐标 c+1，由块族的构造此块唯一（对 x,y 无序化后 ② 中每对恰计一次，交换拟群性保证无重复计数）。若第二坐标不同、设 P=(x,c),Q=(y,c′)：则 P,Q 所在块的第三点在第二坐标 c+1=c′ 的情形只剩 ② 型，而 ② 型块内任意两点的第一坐标互不相同——P,Q 若同时出现须 x≠y 且两块分别由 {P,第三点} 与 {Q,第三点} 生成，逐一核对：覆盖 {(x,c),(y,c′)} 的 ② 型块须第三点 (x∘y,c+1)，仅当 c′=c+1 时存在，且此时唯一。综合：c′=c 时恰一覆盖，c′=c+1 时恰一覆盖，c′=c+2 时 0 个——而 c′=c+2 对应的覆盖由把 «+1» 换成 «−1» 的对称形式补足（构造 ② 对三个 c 同时列出，实质给出两个方向）。v ≡ 1 (mod 6) 的 Skolem 构造用 Skolem 序列把循环差族拼出来，此处从略（见文献）。□
命题 2（Wilson 判据定理，1972–75；陈述） 固定 t,k,λ。存在常数 v0 使得：若 v ≥ v0 且对每个 i<t 有 C(k−i,t−i) ∣ λ·C(v−i,t−i)，则 t-(v,k,λ) 设计存在。Keevash（2014）以超图分解的形式重证并推广到 B 含禁块的一般情形。
梗概 Keevash 的证明是 «随机贪心＋吸收»：第一步验证 «典型性»（随机点对的块式约束计数满足秩条件）；第二步 nibble——每轮随机选取互不相交的合法块，随机匹配理论保证 o(1) 比例的 t-组未覆盖；第三步预留一个小 «吸收器»（一族精心设计的冗余块，使得任何残余的 «小而可调» 的未覆盖集都能被吸收器局部重排吸收）；第四步把 nibble 与吸收器联立，残余部分恰好整除适配。五步合拢：整除条件正是 «残余可吸收» 的代数刻画。□
进展与文献
Kirkman 1847 与 Bose 1939 的三元系构造；Wilson 三部曲（1972,1973,1975，J. Combin. Theory A）；Keevash《The existence of designs》（2014，Inventiones）；Glock–Kühn–Lo–Osthus 的迭代吸收与更好阈值（2016–2020）。开放核心：有限判据对一般 (t,k,λ) 的完全刻画；已完全刻画的 2-(v,3,λ) 族之外的逐族攻坚（见 06、17、37 号）；「判据＝整除」在有限 v 会失败的显式反例（50 号的讨论）显示总表不会平凡。