问题
Keevash 2014 年证明了设计存在性的完备渐近判据（01 号命题 2），但证明是 «存在性论证»：阈值 v0 不可显式、构造过程依赖非构造性的选择。本问题问两件事：①给出有效的 v0（哪怕天文数字，只要可写下来）；②给出多项式时间的构造算法（输出显式的设计，而非仅证明其存在）。
主要概念
吸收法与迭代吸收
吸收法的骨架是 «近似＋修正»：随机贪心（nibble）先覆盖几乎全部，剩下的 «残余» 由预留的吸收器修正。修正能力的关键是可调性：吸收器是一族带冗余的块，对任何 «足够小且整除适配» 的残余需求 L，都能在吸收器内局部交换块而恰好产出 L。Glock–Kühn–Lo–Osthus 的迭代吸收把 «一次修正» 升级为 «分层修正»：按块规模分层，逐层吸收，使阈值从 «巨大» 压到 «指数级但仍巨大»——存在性有效化迈出实质一步，但离 «可计算» 仍远。
算法化的三道坎
①nibble 是随机的——去随机化需要 «伪随机替代»（典型性条件的显式验证）；②吸收器的构造目前依赖存在性引理（先证吸收器存在再保留它）——显式构造吸收器是算法化的真正瓶颈；③输出规模：块数 b = λ·C(v,t)/C(k,t) 本身是 vt 级，故 «多项式时间» 指输出多项式时间（vt 级已是输出下界）。
主要命题与证明
命题 1（Rödl 定理，1985，即爱尔德什–哈纳尼猜想；陈述＋架构） 固定 k,t。存在部分 t-(v,k,1) 族覆盖 V 的至少 (1−o(1)) 比例的 t-子集，且族中块互不相同。
梗概 把 «未覆盖的 t-子集» 与 «可用块» 组织成超图 H：顶点是 t-子集，边是一个 k-块所含的全部 t-子集。求 H 的几乎完美匹配：每轮均匀随机选一条边（块），删去其覆盖的顶点。Pippenger–Spencer 的超图匹配定理（码长条件：任何小顶点集的 «邻域交互» 有界）保证可执行 «许多轮»，每轮残余比例乘以 (1−δ)；k,t 固定时残余比例指数衰减到 0。□
命题 2（Keevash 主定理的五步架构） 整除条件成立且 v 充分大时 t-设计存在。证明分五步：①典型性验证（显式秩条件）；②nibble 得 (1−ε) 覆盖；③残余结构 L 的 «整除适配» 分析（残余恰落在吸收器可调的陪集上）；④吸收器重排产出 L；⑤参数一致性闭合。每一步都是非构造性的：③④ 需要 «先证存在再保留»。
梗概 ④ 的机制值得细看：吸收器本质是一个 «万能模板»——它同时包含 «用块 A 换块 B» 的所有局部重排轨道。整除条件保证残余需求 L 的 «类型向量» 落在模板的类型格之内，格上的生成元对应模板的重排轨道；由格的生成性，L 可写成生成元的非负组合，逐个执行即得。□
命题 3（算法化现状，2021–2023） 对固定参数 (t,k,λ)：随机多项式时间构造已实现（Kang–Kelly–Kühn–Methuku–Osthus 等的算法化吸收：把典型性改为显式验证、吸收器改为 «可计算保留»）；确定性构造与有效 v0 阈值仍未得到。特别地，t=4,5 的任意大显式构造已是可实现的工程目标。
现状说明 算法化的核心替换有两处：nibble 的随机轮被 «伪随机分块» 替代（按格点分割点集、显式验证局部密度）；吸收器的 «先证存在» 被 «显式小模板» 替代（对固定 (t,k,λ)，模板可穷举搜索得到）。这两处替换在小参数可行，一般参数的模板搜索本身仍超多项式。□
进展与文献
Rödl《On a packing and covering problem》（1985）；Keevash《Counting designs》（2018，给出计数版）；Glock–Kühn–Lo–Osthus 的迭代吸收系列；Kang–Kelly–Kühn–Methuku–Osthus 的算法化设计（2021–2023）。开放核心：确定性多项式构造（与 48 号 «设计的算法复杂性» 互为表里）；t≥6 的任何显式构造族（与 03 号衔接）；有效阈值的显式上界（哪怕 2↑↑v 型）。