问题
非平凡的 t-设计指 λ>0 且块不是全部 k-子集的设计。1987 年 Teirlinck 证明：对每个 t 都存在非平凡 t-设计——结束了 «t≥6 是否存在» 的悬案。但他的构造参数巨大且高度非显式。本问题问：能否给出参数尽可能小的显式 6-设计？对标对象是设计理论的两颗明珠：小 Witt 设计 5-(12,6,1) 与大 Witt 设计 5-(24,8,1)——它们是 «最漂亮的参数＋最大对称群» 的 5-设计，6-设计是否还有 «Witt 型» 的人间版本，是设计理论的浪漫悬案。
主要概念
整除算术为何在 t=6 变苛刻
01 号的计数恒等式在 t=6 要求六个整除条件同时成立，其中 i=5 的一条是 C(k−5,1) ∣ λ·C(v−5,1)，即 k−5 ∣ λ(v−5)。想压小参数就得同时满足六条整除式而块数 b = λ·C(v,6)/C(k,6) 又不爆炸——Witt 设计恰是 «小参数＋λ=1» 的唯一解族：5-(12,6,1) 有 b=132 块，5-(24,8,1) 有 b=759 块。λ=1 时六条整除同时成立对 6-设计几乎无解（已知的 6-(v,k,1) 只在 v 巨大时才有候选），故构造都从 λ>1 入手。
Teirlinck 递归的机制
Teirlinck 的构造是 «升阶»：从 t-设计造 (t+1)-设计。核心工具是 t-齐次、t-可逆的加权结构：在已知 t-设计上装备 «点权» 与 «块权»，使加权计数满足 (t+1) 阶整除，再用 «权分割» 把加权块拆成等权的普通块。整条链从平凡设计出发逐级抬升，参数随之指数膨胀——这就是 «存在但巨大» 的来源。
主要命题与证明
命题 1（大 Witt 设计与扩展 Golay 码，陈述＋构造线索） 存在 5-(24,8,1) 设计：取扩展二元 Golay 码 [24,12,8] 的 759 个重量 8 码字作为块。其自同构群为魔群之外最大的散在群之一 M₂₄（阶约 2.4×10¹⁸），且每对块交于 0、2 或 4 点。
梗概 Golay 码可由 «横切» 十六元组 ⟨Ω∖{∞} 的循环结构⟩ 生成：生成矩阵的行由 {∞}∪F₂⁴ 的二次型结构给出；重量 8 码字共 759 = C(24,5)/C(8,5)·(1/1) 个，逐一验证五个定点能唯一延拓为码字（Golay 码的 «3-传递修补» 性质），即得 5-(24,8,1)。块对相交数的验证用码的对偶性与重量枚举多项式。□
命题 2（Teirlinck 定理，1987；陈述） 对每个 t ≥ 1 存在非平凡 t-(v,k,λ) 设计，其中 v,k,λ 均为 t 的（巨大的）显式函数。证明用 «权升阶» 归纳；构造的显式性在原则上成立、在实践上不可展开。
梗概 归纳步：给定加权 t-设计 (𝒟,w)，构造 «t+1 可逆» 的加权结构——把点集复制成多个拷贝、用 t-设计的块作 «导轨» 分配权，使新结构对任何 (t+1)-子集的加权覆盖数恒等。随后 «去权»：把权 w 写成互不相同的 0-1 权之和（需 w 的值域受控），每个 «权层» 拆成普通块。整除条件由恒等式逐阶核验。□
命题 3（小参数的算术排除） 6-(v,k,1) 的六条整除条件在小参数强约束：例如 k≥7、λ=1 时 i=5 条给 k−5 ∣ v−5，i=4 条给 C(k−4,2) ∣ C(v−4,2)，联立后 v 至少是 k−5 的倍数加 5 且远大于 k；已知 λ=1 的候选参数从 v≥某大界才开始，这解释了 «λ=1 的 6-设计为何无处可寻»。
说明 这不是存在性定理而是算术排除：它把 «小 Witt 型 6-设计» 的搜索空间压到几个参数窗口，正是显式构造攻坚的战场。□
进展与文献
Witt 1938 的两大设计；Teirlinck《Non-trivial t-designs without repeated blocks exist for all t》（1987）；Magliveras–Leavitt 的 t=6 小型化尝试；Huber 对 t-设计与码、群关联的综述。开放核心：λ>1 的 «小» 6-设计（v 数千级）显式构造；6-设计的对称性普查（自同构群是否必然 «小»）；Teirlinck 构造的参数改进——任何一档都是设计理论的一等成果。