问题
正交阵列 OA(N,n,s,t) 是一个 N×n 的表，列取值于 s 元集，任何 t 列的行向量恰把 st 种取值组合各出现 N/st = λ 次（λ 称指数）。Rao（1947）给出了 N 的下界：达到此界的阵列是 «最省行数的实验表»。本问题问：哪些参数能达到 Rao 界？达到界的阵列如何分类？这是正交阵列理论的脊柱问题——它与编码理论中的 LP 界同源，达到界情形与 MDS 码、紧框架一一对应。
主要概念
Rao 界
记 t = 2g 或 2g+1。Rao 界：N ≥ Σi=0g C(n,i)(s−1)i（t 偶）；N ≥ Σi=0g C(n,i)(s−1)i + C(n−1,g)(s−1)g+1（t 奇）。最常用的是强度 2 情形（g=1）：N ≥ 1 + n(s−1)。证明工具是 «正交多项式»（Krawtchouk 型）——与 Delsarte 的码 LP 界同一台机器：阵列的列对偶到 «因子空间» 的函数，计数恒等式给出二次型的非负性。
与 Hadamard、MDS 的对应
强度 2、s=2 时 Rao 界为 N ≥ n+1，达到 ⟺ Hadamard 矩阵（14 号）。一般地，达到 Rao 界的阵列等价于 «极小距离最大» 的码：把行看作长 n、字母表大小 s 的码字，OA 性质给出最小距离 δ = n−t+1（强度 t ⟹ 任何 n−t+1 列内无重复行模式），«N 达到 Rao 界» ⟺ «码达到 Singleton 界» ⟺ MDS 码。于是本问题与 36 号（MDS 猜想）互锁。
主要命题与证明
命题 1（Plackett–Burman 定理，1946，完整证明） OA(N,n,2,2) 满足 N ≥ n+1；且 N=n+1 的阵列等价于 N 阶 Hadamard 矩阵。
证明 把阵列写成 N×n 矩阵 A，元素取 ±1，并在左端添一列全 1 得 A′（N 行、n+1 列）。正交性：OA 强度 2 性质说任何两列的四种符号组合各出现 λ=N/4 次。任取两列 c,d：内积 c·d =（++ 与 −− 的次数）−（+− 与 −+ 的次数）= λ − λ = 0。特别地，取 d 为全 1 向量（它不是阵列的列，但组合均衡论证同样适用）：均衡性给出每列中 +1 与 −1 各半，即每列与全 1 向量内积为 0。下界：于是 A′ 的 n+1 个列向量两两正交且皆非零，而它们都生活在 ℝN 中——两两正交的非零向量至多 N 个，故 n+1 ≤ N。等价性：设 N=n+1。此时 A′ 是 N 阶方阵且 A′TA′ = N·IN，故 A′ 可逆且 (A′)−1 = N−1A′T，从而 A′A′T = N·I 亦成立——每行也两两正交、每行范数 √N：这正是 Hadamard 矩阵的定义。反之，任何 Hadamard 矩阵可归一化（行、列乘 −1）使第一列全 1；删去该列后，其余列两两正交且与全 1 正交，即四种组合均衡——恰是 OA(N,N−1,2,2)。□
命题 2（Rao 界与 Singleton 界的对偶一致；陈述） 把 OA(N,n,s,t) 的行视为 s 元码字，得到大小 N、长 n、最小距离 ≥ n−t+1 的码（强度 t 保证 t 列模式无重复，即任何 n−t+1 列内的截断互异）。在此对应下，Rao 界与码的 Singleton 型界互为对偶：OA 的 «列数–强度» 平面与码的 «长度–距离» 平面经转置换位，Rao 界的证明正是 Delsarte LP 法在置换后的参数平面上的重演。
梗概 Delsarte 框架中，码的距离分布与 OA 的模式分布都落在 Krawtchouk 多项式张成的 «正锥» 内，两个线性规划互为对偶，故最优值相同。达到界 ⟺ LP 最优解落在有限极值点集上 ⟺ 结构为 MDS 型（对应 36 号）。□
进展与文献
Rao 1947 的因子实验纲领；Plackett–Burman 1946；Bush 1952 的正交阵列构造（达到界一族）；Hedayat–Sloane–Stufken《Orthogonal Arrays》专著的系统整理；MDS 码侧见 36 号文献。开放核心：一般 (t,n,s) 达到 Rao 界的参数谱（等价于 «弧的极大谱» 问题，与 11、36 号联动）；指数 λ>1 的 «广义 Rao 界» 紧性；量子信息侧的对应见 24 号。