问题
覆盖数 C(v,k,t)：v 元集上，取最少多少个 k 元子集（块），能使每个 t 元子集都含于某块。它是 «Steiner 系放不下时的最佳近似»：若整除条件满足且 Steiner t-设计存在，则 C = λ·C(v,t)/C(k,t)（λ=1 的理想值）；否则要付 «冗余税»。问题分两层：渐近层（Rödl 定理已解决：C ~ C(v,t)/C(k,t)）与精确层——对给定的 v mod 一组小数（如 v mod 6 时的 C(v,4,3)）给出精确值。精确层至今只在部分同余类完成，Schönheim 下界与最优构造之间的缺口是主战场。《覆盖设计手册》（Colbourn–Dinitz 系）厚逾千页，精确值表仍大片空白。
主要概念
下界机器
Schönheim 下界：C(v,k,t) ≥ ⌈(v/k) · C(v−1,k−1,t−1)⌉（递归展开到底为 C(v−t+1, k−t+1, 1) = ⌈(v−t+1)/(k−t+1)⌉）。直观：固定一点 x，含 x 的块删去 x 后是 (v−1,k−1,t−1) 覆盖；每点至少被 «某数目» 的块覆盖。LP/分数下界：把 «每块权 ≤1、每 t-组被权 ≥1» 的分数覆盖的对偶写成线性规划，其值（可显式计算）常比 Schönheim 更强。计数下界：t-组共 C(v,t) 个、每块盖 C(k,t) 个 ⟹ C ≥ C(v,t)/C(k,t)（平凡但同余性质重要）。
构造侧
构造的上界来源三类：①截断：把 Steiner/已知设计删点删块（例如从 C(v+1,k,t) 得 C(v,k,t) ≤ …）；②递归拼接：用小覆盖做 «局部模板»、大集做 «全局骨架»；③逐类攻坚：固定 (k,t)（如 (4,3)），对每个 v mod 模数 M 逐一确定精确值——这是 «C(v,4,3) 工程» 的做法。
主要命题与证明
命题 1（Schönheim 下界，1964，完整证明） C(v,k,t) ≥ ⌈(v/k)·C(v−1,k−1,t−1)⌉。
证明 设覆盖族含 b 个块。对每点 x，设 d(x) 为含 x 的块数。删块中点 x：族 {B∖{x} : x ∈ B} 是 (⟨v−1⟩,k−1,t−1) 覆盖——因为任何 (t−1)-组 S 加上 x 是 t-组，被某块 B ⊇ S∪{x} 覆盖。故 d(x) ≥ C(v−1,k−1,t−1) 对每点 x 成立。计数 incidences：b·k = Σx d(x) ≥ v·C(v−1,k−1,t−1)，即 b ≥ (v/k)·C(v−1,k−1,t−1)；b 为整数，取上取整。□
命题 2（Rödl 定理，1985；陈述） 固定 k,t。当 v→∞，C(v,k,t) = (1+o(1))·C(v,t)/C(k,t)——渐近意义下 «冗余税» 消失。证明即 02 号命题 1 的 nibble 机器（对偶使用：覆盖 = 匹配的补）。
说明 注意 o(1) 项的有效估计依赖参数；对精确值工程它只提供 «极限方向»，同余类的 «最后一遍整数修正» 仍须逐类手算。□
命题 3（C(v,4,3) 的样板；陈述） 固定 k=4,t=3。Schönheim 展开给 C(v,4,3) ≥ ⌈v/4·⌈(v−1)/3·⌈(v−2)/2⌉⌉⌉。当 SQS(v)（即 3-(v,4,1)）存在（v ≡ 2,4 mod 6）时下界取等：C = C(v,3)/4 = v(v−1)(v−2)/24。其余同余类（v ≡ 0,1,3,5 mod 6）的精确值是 «最后一遍修正» 攻坚的经典战场：每个类对应一组 «最少冗余块数» 的确定问题。
说明 SQS 存在性（Hanani 定理）见 17 号命题 1 的同一台机器；这里只使用其结论。□
进展与文献
Schönheim 1964；Erdős–Hanani 猜想与 Rödl 定理（1985）；Mills 对 C(v,4,3)、C(v,5,4) 的系列精确值；Colbourn–Dinitz《Handbook of Combinatorial Designs》的覆盖数表。开放核心：C(v,5,4)、C(v,6,5) 族的同余类清单（与 07 号的 Turán 型对偶问题成对）；分数 LP 下界与 Schönheim 型下界的统一；«覆盖数表» 的算法化自动填充（SAT 引擎已在小参数建功，见 25–29 号的引擎复用）。