问题
图兰数 T(n,k,t)（覆盖口径）：最少多少个 t-子集，使每个 k-子集至少含有一个（击中性质）。本问题聚焦 T(n,5,4)：击中所有 5-子集的最少 4-子集族。它与 «k-一致超图图兰问题» 互为补集：设 𝒢 为全体 4-子集中不属于击中族的那些，则 «每个 5-子集含一个击中块» ⟺ 𝒢 不含任何 K₅⁴（5 个顶点上全部 5 个 4-面皆属 𝒢 的配置）。于是 T(n,5,4) = C(n,4) − ex(n,K₅⁴)，而 ex/n⁴ 的极限（图兰密度 π(K₅⁴)）正是超图图兰问题的圣杯级未知量——它与图论分册 07 号的 K₄³ 问题同族。图兰本人 1941 年给出的构造（击中族的显式方案）至今未被任何改进压低；其最优性五十年未证。
主要概念
补集恒等式
击中族 𝒯 与 «自由» 族 𝒢 = 全体 4-子集 ∖ 𝒯 的关系：每个 5-子集 S 的 5 个 4-面中至少一个在 𝒯 ⟺ 没有任何 5-子集的 5 个 4-面全在 𝒢 ⟺ 𝒢 是 K₅⁴-自由。故最小化 |𝒯| = 最大化 |𝒢|：T(n,5,4) 与 ex(n,K₅⁴) 是同一枚硬币的两面。推论：π(K₅⁴) 已知 ⟺ T(n,5,4) 的渐近常数已知；一般超图图兰密度 π(ℋ) 的存在性（lim ex/nr）由 Katona–Nemetz–Simonovits 保证，故渐近常数存在、只是值未知。
超图图兰的一般格局
图（2-一致）情形由图兰定理完全解决；超图（≥3-一致）几乎全部打开：图兰 (3,4) 问题（π(K₄³) 是否 5/9）、(4,5) 问题（本问题）等。已有的通用工具：模糊幂（blow-up）、flag algebra（半定规划对密度的系统约束）、稳定性定理（ Razborov–Reiher 型）。它们的共同局限：能给 «逼近某构造» 的稳定性，却给不出 «该构造最优» 的判定。
主要命题与证明
命题 1（补集恒等式，完整证明） 对一切 n ≥ 5：T(n,5,4) = C(n,4) − ex(n,K₅⁴)，其中 ex 为 K₅⁴-自由 4-一致超图的最大边数。
证明 设 𝒯 ⊆ C(V,4) 击中所有 5-子集，令 𝒢 = C(V,4)∖𝒯。（⟹）若 𝒢 含 K₅⁴：存在 5-子集 S，其全部 5 个 4-面在 𝒢 中，即无一在 𝒯——与 𝒯 击中 S 矛盾。（⟸）设 𝒯 未击中某 5-子集 S：S 的 5 个 4-面全不在 𝒯，即全在 𝒢——𝒢 含 K₅⁴，矛盾。故 «击中 ⟺ 补集 K₅⁴-自由» 是双射对应，取最大 𝒢 即得恒等式。□
命题 2（渐近常数的存在性，Katona–Nemetz–Simonovits 1964，完整证明） 对任何固定 r-一致超图 ℋ，极限 π(ℋ) = limn→∞ ex(n,ℋ)/C(n,r) 存在。
证明 关键引理：ex(n+m,ℋ) ≥ ex(n,ℋ) + ex(m,ℋ) + n m·O(n+m)r−2——把两个 ℋ-自由超图放在不相交顶点集上、再 «补上» 跨越两部分的边中至多含 (r−1) 个 «一侧» 顶点者：任何 ℋ 的 r+1? 顶点拷贝若同时使用两侧的 «内部结构»，其 r-面中必有某面完全落在一侧（鸽笼），拷贝即已在该侧出现，矛盾——精确地说，ℋ 的拷贝的所有面中，至多一面是 «跨边»，其余各面完全在某一侧；把跨边删去仍得 ℋ-自由族，故上界可改为 «两侧内部分别最优＋跨边全保留» 的构造而保持自由，引理成立。由超加性，ex(n,ℋ)/C(n,r) 递增到极限（分母用 C(n,r) 的规范化后单调有界）。□
命题 3（图兰构造的地位；陈述） 图兰 1941 年的循环分部构造给出 T(n,5,4) 的上界（对偶地给出 π(K₅⁴) 的下界）；半个多世纪以来没有任何构造改进此界，flag algebra 的半定规划界也只是 «温和» 地夹逼。构造的最优性等价于 π(K₅⁴) 的取值判定——超图图兰纲领的主峰之一。
说明 对比图情形：图兰定理（K₃ 图兰密度 1/2）由 Erdős 完整证明；超图情形连 «候选密度» 的分数形式都要靠构造反推——这正是 «构造五十年不被击败、却无人能证最优» 的结构性原因。□
进展与文献
Turán 1941 的原始文与 «三难构造»；Katona–Nemetz–Simonovits 1964 的密度存在性；Keevash 2011 的超图图兰综述（K₄³ 等族的权威整理）；Razborov flag algebra 系列、Reiher–Wagner 的稳定性工作。开放核心：π(K₅⁴) 的取值（等价于本问题渐近常数）；(3,4) 问题的 5/9 判定（图论分册 07 号）；一般 «图兰密度可计算性» 的超图推广。