问题
射影平面：一组 «点» 与 «线»，任两点定唯一线、任两线交唯一点、存在四点无三共线（非退化）。阶为 n：每线 n+1 点。已知平面（如坐标平面 PG(2,q)）的阶都是素数幂。n=12 时：Bruck–Ryser–Chowla 定理只排除 n ≡ 1,2 (mod 4) 且 n 非两平方和的情形——12 ≡ 0 (mod 4)，恰好躲开。10 阶平面的不存在靠 Lam 团队 1989 年的大型计算确立；12 阶的搜索空间比 10 阶大数十个量级，被称为 «计算数学的下一个登月»。
主要概念
计数恒等式
阶 n 平面有 n²+n+1 个点与同样多条线（见命题 1），关联矩阵 N 满足 NNT = nI + J——这个矩阵恒等式是全部谱方法（BRC 定理、乘子排除、谱下界）的入口：det(NNT) = (n+1)n2n 必须是整数行列式的平方，由此长出数论障碍。
计算路线
10 阶不存在（Lam–Swiercz–Thiel 1989）的路线是 «结构裁剪＋穷举»：假设平面存在，先由 «权转移» 论证其自同构结构受限，再分四大步搜索 «半平面»（部分关联结构），Cray 巨型机跑了数千小时。12 阶：点数 157（对 10 阶的 111），分支因子暴涨；直接穷举不可行，当代路线转向 SAT/可满足性引擎、局部裁剪（«权» 系统）与对称剪枝——25–29 号的范德瓦尔登数攻坚用的是同一工具箱，但规模差了量级。
主要命题与证明
命题 1（阶 n 平面的计数，完整证明） 阶 n ≥ 2 射影平面有 n²+n+1 个点、n²+n+1 条线，每线 n+1 点、每点 n+1 线。
证明 固定点 P 与不过 P 的线 ℓ。每点 Q ∈ ℓ 与 P 定唯一线，这些线互不相同（若两条重合则该线同时过 P 与 ℓ 上两点，与 «两线交一点» 矛盾）；反之任何过 P 的线 m ≠ ℓ 与 ℓ 交于一点 Q，故过 P 的线与 ℓ 的点一一对应：n+1 条。于是每点 P 恰有 n+1 条线过。取一条线 ℓ（n+1 点）：每点 Q 在某条过…计数点：ℓ 上每点对应 n 条 «非 ℓ» 的线，共 (n+1)n 条；每条非 ℓ 的线与 ℓ 交于一点，故 «点–非ℓ线» 配对无重复无遗漏；非 ℓ 线共 (n+1)n 条，每条 n 个 «非 ℓ» 点。非 ℓ 的点：每点 Q∉ℓ 引出 n+1 条线，其中恰一条交 ℓ（即线 QP 对某 P∈ℓ…由两线相交性，Q 与 ℓ 上每点的连线互异且都 «过 Q»），故 Q 被计 n+1 次。综合：非 ℓ 点数 = [非 ℓ 线数 × 每线非 ℓ 点数]/[每点被计次数]——直接换路：每条非 ℓ 线有 n 个非 ℓ 点，共 (n+1)n 条线 ⟹ «线×点» 关联 (n+1)n·n 次；每点被计 n+1 次 ⟹ 非 ℓ 点数 = n²。总点数 = (n+1) + n² = n²+n+1。线的计数对偶（公理自对偶）。□
命题 2（Bruck–Ryser–Chowla 定理，1949–50；陈述＋归约） 若阶 n ≡ 1,2 (mod 4) 的平面存在，则 n 是两个整数的平方和（等价地，n 的每个 3 mod 4 素因子出现偶数次）。证明的代数骨架：由 NNT = nI+J 得行列式恒等式 det(NNT) = (n+1)·n2n；数论步骤（Chowla–Erdős–Straus 的二次型判据）把 «此整数须为平方» 转成 n 的两平方和性质。12 ≡ 0 (mod 4)，定理的前提不满足——BRC 对 12 阶完全沉默。
说明 BRC 是 «必要条件»：满足两平方和的阶（如 10 = 1²+3²）依然可能不存在——10 阶正是被计算排除的。已知被 BRC 杀掉的阶：6（6 ≡ 2 mod 4，6 非两平方和）、14（同理）……最小的 «BRC 沉默» 阶正是 12。□
命题 3（10 阶不存在，Lam–Swiercz–Thiel 1989；陈述） 阶 10 射影平面不存在。证明是结构裁剪＋计算机穷举：假设平面存在，先把 «半平面»（部分关联结构）的可能形态压到有限类，再逐类用大型机穷举排除，全程数年。这是第一个 «纯粹靠计算确立» 的重大数学否定结果之一。
说明 12 阶的搜索空间：点数从 111 涨到 157、线组合数指数暴涨，量级上比 10 阶大数十个量级；当代最佳策略（对称约化＋SAT）能否 «登月» 完全取决于结构裁剪的新思想——纯算力的堆叠已到尽头。□
进展与文献
Bruck–Ryser 1949 与 Chowla 1950；Hall《Combinatorial Theory》的平面章节；Lam《The search for a finite projective plane of order 10》（1991 综述，计算工程的第一手记录）；Kaski–Östergård 的分类算法（16 阶分类所用，见 10 号）。开放核心：12 阶存在性（计算数学的登月目标）；«BRC 之外还有什么必要条件» 的谱方法扩展（有限平面的谱约束，与 38 号结合方案的地基共享）。