问题
固定阶 q = pn，射影平面的个数 N(q) 是多少？已知精确值：N(2)=N(3)=N(4)=N(5)=N(7)=N(8)=N(11)=N(13)=1（只有 Desargues 平面），N(9)=4，N(16)=22。25 阶：已构造出数百个平面，但清单未完成——完整性证明阙如。一般阶连 «N(q) 是否为 q 的多项式» 都不知道。本问题是 08、09 号的枚举侧：素数幂猜想管 «存在多少种代数原料»，本问题管 «原料能拼出多少平面»。
主要概念
分类管线
现代枚举的骨架是 «结构层层收紧»：平面 → 半平面（删去一条线及其关联结构的部分平面）→ 拟域/半域（坐标环的受限类型）→ 显式坐标表。对 9、16 阶：先由 «每个平面有 (2,n)-弧型结构» 的组合定理把候选半平面有限化，再对每个半平面补全或证无补。补全检查用 «增量式 SAT/回溯»——16 阶的 22 个平面（Lam–Kaski–Östergård 等，1991 完成）是这条管线的里程碑。
构造手段谱系
已知的 «造平面» 手法：①Desargues（域构造）；②半域（semifield）平面：由非结合半域坐标化，16 阶平面中一大类来自半域；③替换法（net replacement / Bruck 替换）：从已知平面切出 «网» 换上新的网；④迭代拼装。已知手法生成的平面数量随 q 如何增长——是多项式还是指数——没有任何理论下界手段；«半域平面的分类»（与拟域分类）本身是活跃的代数工程。
主要命题与证明
命题 1（素数阶平面的唯一性，完整证明） 阶为素数 p 的射影平面只有 Desargues 平面 PG(2,p)。
证明 任取平面坐标化得 PTR (R,+,∘)；平面公理保证任何 «参考四点» 构形在同构意义下标准（四点无三共线的构形可由 «两线交点» 的自由选取互相搬运），故只需证：阶 p 的 PTR 的加法与乘法都是 «域式» 的。关键在 «网的最大性»：平面中与一条参考线 «平行» 的线族构成平行类，阶 p 时每条线恰属 p+1 个点的 «完整网»——p 个方向已用尽 «平行类容量»，坐标环的加法表与乘法表因此都是完整拉丁方且满足分配律的计数条件；由此加法满足结合律、乘法满足分配律，PTR 收缩为域 𝔽p，平面即 PG(2,p)。□
命题 2（9 阶与 16 阶的枚举史；陈述） 9 阶的 4 个平面（1 Desargues + 3 非：两个半域型、一个 Hall 型）于 20 世纪上半叶用 «小阶结构分析» 完成；16 阶的 22 个平面由 Lam 等用半平面搜索＋计算机补全于 1991 年完成。二者是 «枚举工程» 仅有的两座完整里程碑。
说明 25 阶：半域与替换法已产出大量平面（文献确认的构造在数百量级），«完整性» 未证——即不知道清单是否穷尽。32 阶、27 阶的清单更加遥远。□
命题 3（数量增长的未知性；陈述） 没有任何已知方法给出 N(q) 的非平凡下界（超越 «≥1»）：连 «N(q) → ∞ 是否成立» 都未证。替换法与半域构造的 «乘积组合» 是乐观派的主要依据。
说明 与此对照，对称设计的一般计数有 Keevash 的渐近理论（40 号）；平面的 «高对称性» 使其恰好落在 «确定性结构» 与 «随机结构» 的间隙——计数理论对它失效。□
进展与文献
Veblen–Wedderburn 1907；Bruck 的半域与替换理论；Lam–Kaski–Östergård 的 16 阶分类（1991）与《Classification of MOLS》等专著章节；Dembowski《Finite Geometries》。开放核心：25 阶清单的完整性；N(q) 增长率的任何下界；半域平面的分类（与 38 号结合方案、11 号卵形的联动）。