问题
把 «点集» 换成 n 维 𝔽q-向量空间 V，把 «块» 换成 k 维子空间，得到 q-模拟设计 t-(n,k,λ)q：每个 t 维子空间恰含于 λ 个 k-维子空间（块）中。问题：整除条件（q-版本的柯克曼条件）满足时，设计是否存在？q-模拟的存在理论远落后于经典：零星构造（q-Fano 平面等）之外没有一般存在定理；«Keevash 的 q-版本» 是当前活跃的攻坚方向。
主要概念
Gaussian 计数与整除条件
s 维子空间的个数是 Gaussian 二项式 C(n,s)q = ∏j=0s−1 (qn−j−1)/(qs−j−1)。与经典平行的计数恒等式：固定 i 维子空间 S，含它的块数为 λi = λ·C(n−i,t−i)q/C(k−i,t−i)q，须对一切 i<t 为整数——这是 q-整除条件。但经典判据 «渐近充分» 的 q-版本远未建立：块的 «数量» 呈 qk(n−k) 型爆炸，超图匹配机器（nibble）在 «每对块至多交一个 t-空间» 的弱交互下依旧可用，但 «块空间巨大» 使概率参数失控，需要新的稀疏化。
横贯（spread）——最简单的 q-设计
2-(n,k,1)q 的 λ=1 情形即 子空间横贯：把全部 1 维子空间（点）划分成不交的 k-维子空间。存在判据出奇地干净：k ∣ n（命题 1）——这是 q-模拟里少数 «完全判据»，也是构造更高阶设计的 «骨架»。
主要命题与证明
命题 1（横贯存在判据，完整证明） 𝔽qn 的 k-维子空间横贯（不交铺满所有 1 维子空间）存在 ⟺ k ∣ n。
证明 （⟹）不交性：两个 k-子空间若交于非零向量，则共享一条 1 维子空间——违反横贯的不交性；故诸块仅交于 {0}。数点：每块含 (qk−1)/(q−1) 个 1 维子空间，全空间含 C(n,1)q = (qn−1)/(q−1) 个，铺满即 (qk−1) ∣ (qn−1)。数论引理：qa−1 ∣ qb−1 ⟺ a ∣ b（⟸ 平凡；⟸ 的逆：设 b = qa+r，则 qb−1 ≡ qr−1 (mod qa−1)，故 r=0）。（⟸）构造：把 𝔽qn 视为 𝔽qkn/k（因 k ∣ n，𝔽qk 是 𝔽q 的扩域）；取全部 1 维 𝔽qk-子空间 L = 𝔽q·x（x ≠ 0 ∈ 𝔽qkn/k）：每个 L 作为 𝔽q-空间恰 k 维，两个不同 L 的交为零（𝔽qk-线性无关则 𝔽q-线性无关），铺满性显然。□
命题 2（q-Fano 平面与零星构造；陈述） 2-(n,3,1)q（q-Steiner 三元系）的存在是 q-模拟的首个非平凡台阶：除横贯（k ∣ n）外，已知最小非平凡例是 2-(13,3,1)2（q-Fano 平面，Braun–Etzion–Östergård–Vardy–Zeh 2016 年以计算构造确立）——此前它作为 «q-模拟的第一个开放小参数» 悬置多年。一般 q 与更大 k 的存在谱几乎空白。
说明 注意 q-设计的 «维数算术»：2-(n,3,1)q 的整除条件要求 C(n−1,1)q/C(2,1)q = (qn−1−1)/(q²−1) 为整数，即 2 ∣ n−1 与若干 q-整除同时成立——13 是满足条件的最小 n。□
命题 3（一般存在性的现状；陈述） 对固定的 t,k,λ，«整除条件 + n 充分大 ⟹ 存在» 的 q-版本未被证明；部分进展来自 «经典设计的 q- lifts»（把设计提升到子空间格）与 Suzuki 型群构造的 2-设计。当前主流路线是把 Keevash 的 «nibble＋吸收» 移植到 «子空间超图»，瓶颈在典型性条件的 q-版本。
说明 q-版本的潜在收益巨大：量子信息中的 «子空间码»（与 22、24 号联动）正是 q-设计的应用端。□
进展与文献
Suzuki 1962 的群型 2-设计；Braun–Etzion–Östergård–Vardy–Zeh《Existence of q-analogs of Steiner systems》（2016，q-Fano）；Kühn 及合作者的 q-模拟吸收计划（进行中）；Metsch 的 Gaussian 计数工具箱。开放核心：一般 q-存在定理；q-Steiner 系统的参数谱；q-设计与子空间码、量子层析（24 号）的应用闭环。