问题
Hadamard 矩阵：n 阶（n×n）实矩阵 H，元素全为 ±1，且 HHT = nI（行两两正交）。Hadamard 1893 年的行列式不等式指出 ±1 矩阵的行列式至多 nn/2、取等恰为这类矩阵，故它是 «最满的符号矩阵»。Hadamard 猜想：每个 4 的倍数阶 n 都存在 Hadamard 矩阵。1893 年提出至今：已知最小未定阶是 668（此前的 428 于 2004–05 年被 Kharaghani–Tayfeh-Rezaie 解决）。它是组合设计里最古老的总攻目标，04 号（Rao 界）、15 号（循环版）、47 号（Room 方）都与它相连。
主要概念
阶的算术与构造谱系
阶 n>2 必为 4 的倍数（命题 1 完整证明）；反之 «每个 4 倍数都有» 即猜想。构造手段三大谱系：①Paley 型（二次剩余）：对素数幂 q 给出阶 q+1（q ≡ 3 mod 4）与阶 2(q+1)（q ≡ 1 mod 4）的矩阵；②Williamson 型：四个循环 ±1 矩阵 A,B,C,D 满足 A²+B²+C²+D² = 4nI 时拼出 4n 阶——大量新阶的来源；③合痕/乘积法：从已知阶拼新阶（Kronecker 积给 «阶相乘»：4a × 4b 型），«合痕类» 的搜索是现代计算攻坚的框架。三个谱系各有覆盖域、并集仍远不能填满所有 4 倍数——猜想真正的 «统一构造» 尚未出现。
主要命题与证明
命题 1（阶必为 4 的倍数，完整证明） 若 H 是 n 阶 Hadamard 矩阵且 n > 2，则 4 ∣ n。
证明 行乘 −1 可归一化第一行全为 1（行乘 −1 保持正交性与范数）。任取另外两行 r,s（±1 向量）：二者与第一行正交 ⟹ 各自恰有 n/2 个 +1。按 (r,s) 的符号把列分四类，计数为 a,b,c,d（对应 ++、+−、−+、−−）。r 的 +1 个数：a+b = n/2；s 的 +1 个数：a+c = n/2；两式相减得 b = c。正交性 ⟨r,s⟩ = 0：a−b−c+d = 0 ⟹ a+d = b+c = 2b。于是 n = a+b+c+d = (a+d)+(b+c) = 4b，故 4 ∣ n。□
命题 2（Paley 构造，1933；陈述＋机制） 对素数幂 q ≡ 3 (mod 4)，存在 q+1 阶 Hadamard 矩阵；对 q ≡ 1 (mod 4)，存在 2(q+1) 阶。机制：二次特征 χ（Jacobi 符号）定义 q×q 矩阵 Q（Qab = χ(a−b)），«χ 的反对称性 + 平方和恒等式 Σxχ(x)χ(x+t) = −1» 给出 QQT = qI−J，与全 1 行列拼合即得 Hadamard。
梗概 核心恒等式 Σx χ(x)χ(x+t) = −1（t ≠ 0）是二次特征的正交关系（有限域版的 «高斯和»）；q ≡ 3 (mod 4) 时 χ(−1) = −1 使 Q 反对称，从而 Q+I 型拼合成立；q ≡ 1 (mod 4) 时走 «对称型» 加倍构造。□
命题 3（Williamson 构造，1944；陈述） 若存在 4 个 n 阶循环 ±1 矩阵 A,B,C,D 满足 A²+B²+C²+D² = 4n·I（作为矩阵等式），则 4n 阶 Hadamard 矩阵存在（Williamson 的分块拼装：四块循环结构 + «四元数» 式的符号模式）。大量最新阶（含 428）由此谱系与合痕搜索结合产生。
说明 «已知最小未定阶» 的移动史：1960s 在 ~200、1993 年到 428（ unresolved）、2004 年 Kharaghani–Tayfeh-Rezaie 构造 428，之后 668 成为头名。注意已知阶的 «密度»：几乎所有 4 倍数到数千都已被覆盖，但 «几乎» 与 «全部» 之间没有理论桥梁——这正是猜想的困难形状。□
进展与文献
Hadamard 1893；Paley 1933；Williamson 1944；Wallis（Seberry）–Whiteman 的构造综述；Kharaghani–Tayfeh-Rezaie 2004/05 的 428 阶；《Hadamard Matrices, Sequences, and Block Designs》(Hedayat–Wallis)。开放核心：猜想本体（下一个目标 668）；«合痕类数量» 的渐近；Hadamard 矩阵与量子纠缠（24 号）、与自对偶码的对应。