问题
循环 Hadamard 矩阵：每行是上一行的循环移位的 Hadamard 矩阵——它由第一行完全决定，等价于一个 ±1 序列 f: ℤn → {±1}，其循环自相关 Σx f(x)f(x+t) = 0 对一切 t ≠ 0。Ryser 1963 年猜想：这样的矩阵只有 n=4 一种。已知必要结构：阶必为 4u² 型（u > 1 的情形无一存在）；Schmidt 的谱方法（特征值/特征和估计）大幅排除了 u 的算术类型，对巨大范围配合计算机验证；但一般证明需要新的谱/数论工具。循环 Hadamard 与 Barker 序列（自相关只取 ±1 的 «理想雷达序列»）及循环差集（16 号）等价，是 «平移不变完美设计» 的最小候选。
主要概念
与循环差集的参数对应
设 f 的 +1 位置集为 D ⊆ ℤn，|D|=k。自相关恒零等价于 «平移差分计数恒定»：每个非零 t 恰被 λ 对 (d,d′) ∈ D² 以 d−d′=t 实现，λ = k(k−1)/(n−1)——D 是 循环差集 (λ=常数)（命题 1 完整推导）。自相关还给出 «总平移相关» Σt Σx f(x)f(x+t) = (Σf)²，左端 = n（t=0 项）⟹ (Σf)² = n，行和平方 ⟹ n 是完全平方，结合 Hadamard 的 4 ∣ n 得 n = 4u²、k = u(2u∓1)。这是猜想的 «算术地基»。
Barker 序列等价
Barker 序列：实自相关 |Σf(x)f(x+t)| ≤ 1（对 t≠0）。长为奇数 v 的 Barker 序列与 «v=4u² 的循环差集» 等价（Storer），故 Barker 猜想（长 Barker 序列只有已知小例）与循环 Hadamard 猜想同一命运——雷达工程与纯数学在此共用一个未题。
主要命题与证明
命题 1（循环 Hadamard ⟺ 循环差集 4u² 型，完整证明） n 阶循环 Hadamard 存在 ⟺ 存在循环差集 (v,k,λ)（差分计数恒 λ）且 v = 4u²、k = u(2u−1) 或 u(2u+1)、λ = u²∓u。
证明 （⟹）设 ±1 序列 f 满足循环自相关恒零。差分恒定：把 f 写成 f(x) = 1−2·1D(x)（D 为 −1 位置，尺寸 k；±1 与 0-1 的选择不改变结构）。自相关 Σx f(x)f(x+t) = n − 2|D| − 2|D−t| + 4|D∩(D−t)|，对 t≠0 恒为零 ⟹ |D∩(D−t| 的表达式…直接整理：恒零 ⟺ |D∩(D−t)| 对 t≠0 恒等于 λ := k(k−1)/(n−1)（把 «对计数» Σt≠0|D∩(D−t)| = k(k−1) 均分到 n−1 个 t 上，而恒零性迫使该计数与 t 无关——由自相关方程是 t 的仿射函数且整值）。行和平方：Σt (Σxf(x)f(x+t)) = (Σf)²（重排求和），左端 = t=0 项 = n（其余项为零）⟹ (Σf)² = n ⟹ n 为完全平方；结合 4 ∣ n（14 号命题 1）得 n = 4u²；由 λ 的表达式与 k 的整性解出 k = u(2u∓1)。（⟸）由差集反构序列（同公式逆推）。□
命题 2（Schmidt 谱排除，1999–2011；陈述） Schmidt 用 «特征和的整除与代数整数界» 证明：若 4u² 阶循环 Hadamard 存在（u>1），则 u 的算术形态受强约束——例如 u 的每个素因子结构需满足 «Σχ χ(D) 的模长平方» 的整除链；配合计算验证，已知 4u² < 约 10¹¹（乃至更大范围）无解。方法本质是把 «自相关恒零» 转成 «DFT 模长恒等» |f̂(ξ)|² = n 对所有 n 次特征根 ξ 成立，再对 «代数整数的范数» 施加约束。
说明 DFT 视角是本问题的心脏：自相关恒零 ⟺ |f̂|² 恒 = n；而 f̂(ξ) 是 «分圆单位» 型代数整数——«所有分圆共轭同模长» 的单位是数论里的稀有生物，这正是排除机器的着力点。□
进展与文献
Ryser 1963 的猜想与《Combinatorial Mathematics》；Bruck–Ryser–Chowla 的差集侧工具（16 号）；Schmidt 系列论文《Cyclic Hadamard matrices》与 Barker 序列的谱方法；Leung–Schmidt 的计算＋谱联合排除。开放核心：猜想本体；Barker 序列的长界（与雷达工程的需求对接）；«分圆单位模长恒定» 的结构性分类——它同时是 16 号 «差集判据» 的数论深水区。