问题
Steiner 四元系 SQS(n) = 3-(n,4,1) 设计；循环版本要求存在 ℤn 的正则自同构（平移不变）。问题：哪些整除可行的 n 允许循环 SQS？背景：SQS 的存在判据已完全解决（Hanani：n ≡ 2,4 mod 6）；循环 STS（2 元版）也有完全刻画（Peltesohn：v ≡ 1,3 mod 6 且 v≠9）；但 t≥3 的循环系判据残缺——大量整除可行的 n 既无构造也无否定。循环性把设计 «钉在» 群论（正则循环自同构）上，设计的整除机器与群论的差族机器两侧都强、却未合流。
主要概念
差族：循环构造的标准引擎
循环设计的构造通过 差族（difference family）：一组 «基块» B1,…,Bs ⊂ ℤv，使每个非零元素的 «块内差» 恰出现 λ 次；然后取全部平移 Bj+g。差族存在 ⟹ 循环设计存在；逆命题在 λ=1 时也成立（平移轨道取代表元）。循环性的 «代价» 是：差族把整除条件加密成 «每个非零差恰好配平» 的逐元素约束——比全局计数强得多，这正是循环判据难的原因。
SQS 的整除算术
3-(v,4,1)：含给定点的块数 r = C(v−1,2)/C(3,2) = (v−1)(v−2)/6，含给定二点组的块数 λ₂ = (v−2)/2。整除：2 ∣ v−2 与 3·6 的整除联立 ⟹ v ≡ 2,4 (mod 6)（命题 1 完整）。Hanani 的充分性是 «分同余类递归构造» 的大工程。
主要命题与证明
命题 1（SQS 存在判据的必要条件，完整证明） SQS(v) 存在 ⟹ v ≡ 2,4 (mod 6)。
证明 含任一给定点的块数 r = λ·C(v−1,2)/C(3,2) = (v−1)(v−2)/6 须为整数；含给定二点组的块数 λ₂ = C(v−2,1)/C(2,1) = (v−2)/2 须为整数 ⟹ v 偶。若 v ≡ 0 (mod 6)：v 偶但 (v−1)(v−2) 中 (v−2) ≡ 4 (mod 6)，(v−1) ≡ 5，乘积 ≡ 20 ≡ 2 (mod 6)，除以 6 非整数——矛盾。若 v ≡ 2 (mod 6)：(v−2)/2 ≡ 0 ✓，(v−1)(v−2)/6：(v−2) ≡ 0? v≡2 ⟹ v−2 ≡ 0 (mod 6) ✓。若 v ≡ 4 (mod 6)：v−2 ≡ 2 (mod 6) ⟹ (v−2)/2 ≡ 1 ✓；(v−1)(v−2)：(3)(2)=6 ≡ 0 (mod 6) ✓。□
命题 2（Peltesohn 定理，1938；陈述） 循环 STS(v)（2-(v,3,1) 的循环版）存在 ⟺ v ≡ 1,3 (mod 6) 且 v ≠ 9。9 阶是唯一例外（可证无循环 STS(9)）。证明对每个合法 v 给出差族构造（分同余类；«starter» 与 «Skolem 序列» 机器）。
说明 这是循环判据的 «完全成功样板»：整除条件＋一个例外。它反衬出 t≥3 循环系的残缺——连 «例外清单的形状» 都不知道。□
命题 3（循环 SQS 的已知谱；陈述） 循环 SQS(v) 已对大量 v ≡ 2,4 (mod 6) 构造出来（分同余类的差族构造覆盖多数残差；文献中的构造族覆盖 «几乎所有» 合法 v 的渐近密度 1），但完整的 «存在 ⟺ 条件清单»（含例外）未确立——每个未被构造覆盖的 v 都既可能是 «构造缺口» 也可能是 «真反例»。
说明 与 18 号（完美 1-因子分解）、46 号（可解设计）同属 «循环/分划谱系»：约束强、构造机器有限、判据地图大片空白。□
进展与文献
Hanani《On quadruple systems》(1960)；Peltesohn 1938；Köhler–Zhou 与 Ji 的循环 SQS 构造系列；Beth–Jungnickel–Lenz《Design Theory》的差族章。开放核心：循环 SQS 的完整判据；更高 t 的循环系（S(4,5,v) 循环版等）几乎全空白；差族的 «反例侧» 工具（目前几乎没有超越 «逐差核对» 的否定手段）。