问题
Brualdi–Stein 猜想（1970s–80s）：每个 n 阶拉丁方都有 n−1 长的部分横截（行列符号各不重复的 n−1 个格）。若与 19 号同时获证，二者将统一为 «拉丁方横截定理»：奇数阶取满 n、偶数阶至少 n−1（偶数阶的完整横截确有反例，命题见 19 号）。已知最好下界 n−O(log²n/log log n)（多次改进），与 n−1 之间只剩一个 «缓慢项»——但这个缓慢项的消除需要新的匹配刚性思想。Polymath 曾组织攻坚未果。
主要概念
为什么 n−1 是 «正确» 的门槛
部分横截的 «差一点» 结构由 «最大匹配的最小障碍» 刻画：三部超图中，无 n−1 匹配 ⟺ 存在 «顶点覆盖型» 的小障碍（Hall 型条件的三部版）。拉丁方的高正则性使 «小障碍» 只能是高度结构化的构形——猜想等于断言 «这类构形不可能出现»。Polymath 的经验：障碍构形的搜索空间随 n 增长太快，穷举路线失败；«理论侧» 的进展（更细的正则性 + 吸收）是把 «缓慢项» 一格格磨短。
与 Ryser 的统一图景
统一猜想（Brualdi 的 «大猜想»）：奇数阶有完整横截、任何阶有 n−1 部分横截。19 号的偶数阶反例显示 «满横截 ⟺ 奇偶性通过»——于是 «n−1» 是普适下界的自然终点。两猜想共享同一台机器：KPSY 的纪录同时覆盖二者。
主要命题与证明
命题 1（Woolbright 界，1978；陈述＋思想） 每个 n 阶拉丁方有 n−√n 长的部分横截。证明用 «贪心＋修补»：逐步选格保持互斥，每次冲突用 «局部交换» 消解；«√n» 来自 «可用交换空间的计数下界»。
说明 这是 «把匹配障碍的空间换成交换空间» 的原始形态；后续所有改进都在优化 «交换空间的记账»。□
命题 2（Hatami–Shor 与 KPSY 纪录；陈述） Hatami–Shor（2008）把界改进到 n−O(log²n)；Keevash–Pokrovskii–Sudakov–Yepremyan（2020）到 n−O(log²n/log log n)。机器：维持大匹配＋ «交替链» 的系统使用＋残余吸收；每级改进对应 «链长记账» 的更细估计。
说明 从 log² 到 log²/loglog 的改进依赖 «匹配的局部刚性» 的定量版本；n−1 的跨越需要 «刚性 ⟹ 无障碍» 的定性版本——数量级与结构级的分野正是剩余困难的形状。□
命题 3（Hall–Paige 定理，1947 提出至 2009 完成证明；陈述） 群 G 的 Cayley 表有完整横截（等价地，存在 «完全映射» θ: G→G 使 x↦x·θ(x) 是双射）⟺ G 的 Sylow 2-子群是平凡的或非循环的。证明（Wilcox 2009、Evans 等）深刻依赖有限单群分类。它给出本猜想在 «群表» 子类上的精确参照：循环偶数群表恰无满横截（19 号命题 2），其 «n−1 部分横截» 则是本猜想在群表类的特例。
说明 Hall–Paige 定理（2009 年由 Wilcox/Evans 等完成证明，用了有限单群分类）是 «子类完全解决» 的样板：它把 «哪类群表有满横截» 完全判定，反衬一般拉丁方的困难——一般表缺少 «群» 的代数把手。□
进展与文献
Brualdi 与 Stein 的原始猜想文献；Woolbright 1978；Hatami–Shor 2008；KPSY 2020；Hall–Paige 判据与 Wilcox 的单群分类证明；Polymath 攻坚的公开记录。开放核心：n−1 猜想；与 19 号的统一；«障碍构形» 的结构性排除。