问题
对拉丁方 L，第 i 行确定一个置换 ρi（把列号映到该列的符号），第 j 列确定置换 κj（把行号映到符号）。定义标号奇偶：sign(∏iρi)·sign(∏jκj)（该值在符号重标记下不变：两种符号各乘 sign(σ)n，总变化 sign(σ)2n=+1）。Alon–Tarsi 猜想（1990）：偶数阶 n 中，偶标号与奇标号的拉丁方个数不相等（差非零）。奇数阶时差恒为零（命题 1 的配对论证），这正是 «偶数阶» 的由来。猜想的回报巨大：它蕴含列表染色理论的一族推广（Galvin 定理的 «染色–列表» 升级）、组合零点定理的一系推论、以及 Rota 型基猜想的分支。目前只对部分阶（素数 p 的 p±1、某些合数）与少数函数类验证。
主要概念
符号差与多项式系数
现代处理把猜想转成多项式恒等式：设 ⟨L⟩ 记拉丁方的 «符号和»，猜想等价于某个显式多项式（含 ∏(Σaijxiyj) 型乘积）的特定单项式系数非零。组合零点定理（Combinatorial Nullstellensatz）的机器：系数非零 ⟺ «次数配方» 在某顶点上非零——把组合计数问题化成 «一个多项式在一个点上的取值»。
为什么它难
差 Δ(n) 是 «拉丁方按符号差的加权计数»——加权计数的一般工具（不变量理论、表示论）在此面对 «拉丁方」 这个刚性但混乱的对象。已证族的共性：阶 n 与某个素数 p 只差 ±1，此时可用 «素域上的多项式取值» 的整除技巧；一般合数阶没有 «近素数» 的把手。
主要命题与证明
命题 1（奇数阶差恒为零，完整证明） 奇数 n 时，偶标号与奇标号拉丁方个数相等。
证明 采用正文的标号奇偶定义。考察 «交换前两行» 的对合 τ：它把拉丁方映为拉丁方。行侧：诸行置换 ρi 作为集合不变（只是次序互换），sign(∏ρi) 不变；列侧：每列置换 κj 复合同一个行对换 ⟹ sign(∏κj) 乘 (−1)n。故 τ 把每个拉丁方的标号奇偶乘 (−1)n；n 为奇数时奇偶翻转，且 τ 无不动点（交换前两行必改变方表）——偶标号与奇标号拉丁方被 τ 一一配对，个数相等。□
命题 2（Alon–Tarsi 主定理，1992；陈述） 当 n = p−1（p 素数）时猜想成立（Δ(n) ≠ 0）；n = p+1 的情形由 Glynn 等后续工作确立。证明走 «有限域多项式»：把差写成 ℤp 上显式多项式的单项式系数，用 «阶乘整除»（n < p 保证零点定理可用）与 Vandermonde 行列式的符号展开把系数算成非零的 «差积»。
梗概 关键配 方：∏i<j(xi−xj) 的 Vandermonde 符号与 «每行每列恰一次» 的置换展开相乘后，目标单项式 xδyδ 的系数在 n=p−1 时恰为 «阶乘比的素域像»，由 Wilson 定理 ((p−1)! ≡ −1) 判非零。□
命题 3（列表染色回报；陈述） 猜想蕴含：完全二部多重图 Kn,n·m 的线图的列表色数恰为 Δ（Galvin 定理的 «组合零点» 证明路线）以及 «染色数 = 列表色数» 的若干推广；反之列表染色的进展也反过来给出 Δ(n) 的部分信息——两条线在 «Alon–Tarsi 多项式» 上汇合。
说明 这一 «猜想 → 应用» 的方向已算闭合：Galvin 定理本身不依赖猜想（有独立证明），但猜想给出的推广（如 «paint number»、对应上界）都以下面这个非零性为引擎。□
进展与文献
Alon–Tarsi《A note on the number of Latin squares》(1990/92)；Glynn 的 p+1 情形；Drisko 的拉丁长方横截与符号差工作；Alon《Combinatorial Nullstellensatz》的机器文。开放核心：一般偶数阶（如 n=12,14）的 Δ(n) ≠ 0——每个具体阶都是一次 «多项式系数» 攻坚；猜想与 «拉丁方计数渐近»（40 号）的符号修正版。