问题
互不正交基（mutually unbiased bases, MUB）：ℂd 的若干组标准正交基 {𝔅a}，任何两基之间 |⟨ψ,φ⟩|² = 1/d（«测准基»：在其中一基下测量完全随机化另一基）。素数幂维数必有 d+1 组（Weyl–Heisenberg 构造，命题 1）——这也是量子层析所需的最大数目（d+1 组 «完备测量»）。6 = 2×3 非素数幂：已知至少 2 组（张量积构造）、至多 3 组（Brierley–Weigert 等的分析），二者之间悬置二十余年——«是 2 还是 3» 至今无裁决。这是 «合数维数 MUB 谱» 的旗舰问题，也是量子信息（态层析、密码）的实用问题。
主要概念
Weyl–Heisenberg 群构造
d 素数幂时，取 X|j⟩ = |j+1⟩、Z|j⟩ = ωj|j⟩（ω = e2πi/d）。d²−1 个非平凡算子 XaZb 按 «斜率» a/b 分成 d+1 个 «交换类»，每类 d−1 个两两交换的酉算子 ⟹ 同时对角化得 d+1 个共同本征基；不同类之间的 «互偏性» 由迹恒等式 tr(XaZb) = 0（(a,b) ≠ (0,0)）给出：overlap 的模平方 = (1/d²)|tr(U V†)|² = 1/d。d 为合数时 «斜率» 分解失效（ℤ/d 不是域），类结构崩塌——这正是合数维数困难的代数根源。
d=6 的结构分析
ℂ⁶ = ℂ²⊗ℂ³：张量积给出 «乘积 MUB»（2 组）；张量秩与 «不可分解算子» 的分析给出上界 3。争议的核心：是否存在 «纠缠型» 的第三组基把 2 提升到 3。
主要命题与证明
命题 1（素数维数的 d+1 组；构造与机制） d 为素数时存在 d+1 组 MUB。
机制 d 素数 ⟹ ℤ/d 是域，«斜率» (a,b) ∈ ℤd²∖{0} 按比例分成 d+1 类。同类交换：XaZb 与 XcZd 交换 ⟺ ad−bc = 0（由正则对易关系 XaZb = ω−abZbXa），同类斜率相同故交换 ⟹ 同时对角化、得共同本征基 𝔅。异类互偏：取自不同类的本征向量 |ψ⟩,|φ⟩，标准计算把 |⟨ψ,φ⟩|² 化为 (1/d²)|tr(W)|²，其中 W 是 «斜率不同» 的非平凡类元素组合；而位移–相位算子的迹恒等式 tr(XaZb) = 0（(a,b) ≠ (0,0)：位移矩阵零对角或相位求和归零）逐项消去，余值恰给 |⟨ψ,φ⟩|² = 1/d。完整的逐项计算见 Bengtsson 的综述；两根支柱是 «同类对角化» 与 «非平凡类元素的零迹»。□
命题 2（d=6 的下界 2 与上界 3；陈述） 下界：取 ℂ² 的 2 组 MUB（Hadamard 基对）与 ℂ³ 的 3 组 MUB 的 «张量积»：𝔅a⊗𝔅′b 中 «对角搭配» 给出 2 组 ℂ⁶ 的 MUB（min(2,3)=2）。上界：Brierley–Weigert 等（2009）分析 + 数值与结构论证给出 MUB(6) ≤ 3。2 与 3 之间未裁决。
说明 上界的机器是 «张量秩»：把每组基视为 «极大纠缠算子基»，多组 MUB 的存在约束 «算子空间的正交分块»——分块数超过 3 会与 ℂ²⊗ℂ³ 的 «秩结构» 冲突（部分依赖于 «稳定性» 假设，这也是争议所在）。□
进展与文献
Bandyopadhyay–Boykin–Roychowdhury–Roy 的素数幂构造理论；Brierley–Weigert 的 d=6 分析（2009）；Bengtsson《Three ways to look at the Weyl–Heisenberg group》的综述；量子层析文献（完备 MUB 与 24 号的量子设计）。开放核心：MUB(6) 的裁决；一般合数维数的 MUB 谱（d=10、12 同族难题）；MUB 与 SIC（23 号）的 «完备测量» 统一理论。