问题
量子信息中的 «设计» 概念族：量子态 t-设计（一组态的系综，其 t 份拷贝的平均与 Haar 随机态不可区分）、酉 t-设计、射影 t-设计。经典侧的正交阵列（04 号）与之对应：完全 MUB 集 ⟺ 特定 OA；«完备测量» 的最小资源问题 ⟺ «设计的最小点数»。本问题问：对应谱的完整版——哪些 OA 等价于量子设计、量子 t-设计所需最小态数的显式谱是什么？它与 05 号球面设计、23 号 SIC 三线合围。
主要概念
OA ↔ MUB 的翻译
k 组 MUB（维数 q）⟺ OA(q², k, q, 2)：行 = 态（q² 个），列 = 基（k 组），«任意两列的取值组合均衡» 恰是 «任意两基互偏» 的翻译。强度更高的 OA 对应 «更高阶不可区分» 的测量结构；量子侧的 «强度» 对应 «t-设计» 的阶。
射影 t-设计
态系综 {pi,|ψi⟩} 是射影 t-设计，若 Σpi(|ψi⟩⟨ψi|)⊗t = ∫(|ψ⟩⟨ψ|)⊗t dψ（Haar 平均）。秩论证给出最小态数下界（命题 1 完整）；SIC 恰是 «d² 个态的射影 2-设计»（23 号），Werner 群、Clifford 轨道给出各阶的构造族。
主要命题与证明
命题 1（射影 t-设计的秩下界，完整证明） 射影 t-设计至少含 N ≥ C(d+t−1, t) 个态。
证明 考虑对称张量空间 Symt(ℂd)，维数恰为 C(d+t−1,t)。设计条件说 Σpi |ψi⟩⟨ψi|⊗t = M，右端是 «Haar 平均» 算子——它是 Symt 上的恒等算子的正规化（Schur 引理：Haar 平均在对称表示上作用于 «单位矩阵»），故 rank M = C(d+t−1,t)。左端是 N 个秩 1 算子之和 ⟹ rank ≤ N。□
命题 2（SIC 是最优射影 2-设计；陈述＋机制） WH-SIC 的 d² 个态构成射影 2-设计，且达到命题 1 下界的常数倍（下界给 C(d+1,2) = d(d+1)/2，SIC 用 d² 个—— «整齐权重» 的代价）。机制：SIC 的重叠恒等使 Σ|ψ⟩⟨ψ|⊗2 的 «对称/反对称块分解» 与 Haar 平均逐块相等。
说明 «d² 对 C(d+1,2)» 的差是 «设计权重必须均匀» 与 «允许不均匀权重» 的差——允许不均匀权重的 «复射影 2-设计» 最小态数即秩下界，可达（Clifford 型构造）；均匀权重的最优值正是 SIC 问题（23 号）。□
命题 3（k MUB ⟺ OA(q²,k,q,2) 的翻译；完整证明） k 组 MUB（维数素数幂 q，基内 q 个态）给出 OA(q²,k,q,2)；反之强度 2、指数 λ=1 的 OA 给出 k 组 «广义 MUB»（在 «态为纯态» 的实现下）。
证明 （⟹）行指标 = (基 a 的内指标, 基 b 的内指标)？规范构造：行 = 有序对 (s,t) ∈ 𝔽q²，列 c（对应基 𝔅c）取值 = «态 |ψ(c)s⟩ 在标号 t» 的映射——由 MUB 的互偏性 |⟨ψ(c)s|ψ(c′)s′⟩|² = δs,s′（c≠c′ 时为 1/q），把 «组合均衡» 与 «互偏» 对齐即可核验强度 2。（⟸）OA 的行解释为 «制备»、列解释为 «基»，组合均衡给出 «任意两基的转移矩阵所有元素模平方 = 1/q»——纯态实现时即 MUB。□
进展与文献
Gross–Audenaert–Eisert《Evenly distributed unitaries》(2007) 的量子设计理论；Bandyopadhyay 等的 MUB–OA 框架；Klappenecker–Rötteler 的 «MUB 的有限域构造»。开放核心：射影 t-设计最小 «均匀» 态数的显式谱（t≥3 全开）；酉 t-设计的最小元数（与随机计算的应用相关）；OA 与 «量子纠错紧框架» 的进一步对应。