问题
W(3,5)：[1,N] 的 3-染色必含单色 5-AP 的最小 N。已知精确值谱系（双色侧见 25 号）：W(3,3)=27, W(3,4)=293（Rabung–Lotts 1979 计算、后经 SAT 复核）。W(3,5)：下界约 1700（显式 3-染色）、上界约万级（一般范德瓦尔登上界的粗估）——整个 «多色谱系» 除极小值外都未确定，「可计算但算不动」是共同命运。与之并行的 «广义谱»（W(4,k)、W(r,k) 的高维、以及混合间隔 AP）把地图越拉越大。
主要概念
多色的组合爆炸
每个 «无单色 k-AP 的 r-染色» 的数目随 r 指数增长：SAT 实例的解空间膨胀使 «不可满足性证明»（确定 W）远难于 «构造上界»（找到好染色）。W(3,4)=293 的两段式证明（显式 292 染色＋293 不可满足）已经吃满当年的算力；W(3,5) 的 293→1700+ 的跨度意味着分支因子暴涨数个量级。
上界的理论侧
多色范德瓦尔登的一般上界来自 Szemerédi 定理的定量版（Gowers 2001）：W(r,k) ≤ 22r2k+O(r) 型 «塔式» 巨数——对具体 (3,5) 毫无用处；«实用» 上界来自手工/计算机的组合证明（«分支–定界» 对 AP 族）。理论与计算的断层在多色侧更陡。
主要命题与证明
命题 1（W(3,3)=27，完整证明的骨架） [1,26] 存在无单色 3-AP 的 3-染色；[1,27] 任意 3-染色必含。证明是 «中心对称对» 的逐案核对（25 号命题 1 的三色版）：27 时的 «中心 14 + 13 对» 的强约束树。
说明 这是多色侧唯一 «手算可关闭» 的精确值；293 的关闭已是机器时代。□
命题 2（W(3,4)=293；陈述） Rabung–Lotts（1979）给出显式 292-染色与 293 的穷举证明；现代 SAT 复核确认。证明结构与 W(2,6) 同型：构造＋对称约化＋不可满足关闭。
说明 292-染色具有 «近周期» 结构（三色分段的准规律模式）——«好染色是准周期的» 的经验事实横贯整个谱系，但目前没有理论解释。□
命题 3（W(3,5) 的现状；陈述） 下界：显式 3-染色达到约 1700（文献中的构造纪录）；上界：组合证明给 «万级» 粗界。二者之间的鸿沟没有理论工具能合拢——W(3,5) 是 SAT 引擎的 «下一个登月»（比 W(2,7) 更陡）。
说明 对比 25 号：双色侧有 Berlekamp 型代数下界机器，三色侧连 «好的代数构造» 都稀缺——多色下界构造本身就是开放方向。□
进展与文献
Rabung–Lotts 1979 的 W(3,4)；SAT 时代的复核与纪录表（Kouril 系）；Gowers 2001；Landman–Robertson《Ramsey Theory on the Integers》的系统整理。开放核心：W(3,5) 本体；W(4,4) 等并谱值；«准周期最优染色» 的理论化；与 29 号 Hales–Jewett 数的 «高维 AP» 联动。