问题
舒尔数 S(r)（本文取 «最大可染色» 口径）：[1,S(r)] 存在 r-染色不含单色解 x+y=z（x,y 可相同），而 [1,S(r)+1] 强制出现。已知：S(1)=1, S(2)=4, S(3)=13, S(4)=44（Abbott–Hanson），S(5)=160（Heule 2017，SAT 求解器万核月余）。S(6)：下界 536（显式 6-染色）与指数型上界之间——SAT 工具链是这一族的当代引擎，而 6-色的组合爆炸使 «下一个精确值» 的代价比 W(2,7) 更重。舒尔定理的一般上界与 «舒尔数与拉姆齐数的指数关系» 是理论侧的骨架。
主要概念
从费马到舒尔
舒尔 1916 年证明：对每个 r 存在 N 使 r-染色的 [1,N] 必含单色 x+y=z——动机是证明 «费马方程 xn+yn=zn 的 «素因子» 结构在模意义下的单色性»。证明机器：«r! 的倍数链» 递归——色类的 «和集» 论证给出 «有限 versions of 拉姆齐» 的第一个定理（先于拉姆齐 1930）。
SAT 时代的精确值
每个 «无单色和的 r-染色» 是 CSP 实例；S(5)=160 的证明是 «构造 159-染色 + 160 不可满足»：对称约化＋冲突驱动学习＋万核集群月余。经验规律（同 25、26 号）：显式染色呈 «准周期» 结构，而不可满足证明的难度随色数指数膨胀。
主要命题与证明
命题 1（S(2)=4，完整证明） [1,4] 存在无单色和的 2-染色；[1,5] 的任何 2-染色必含单色 x+y=z。
证明 [1,4] 的染色：红 {1,4}、蓝 {2,3}。红类：1+1=2∉红、1+4=5 出界、4+4=8 出界 ✓；蓝类：2+2=4∉蓝、2+3=5 出界、3+3=6 出界 ✓。[1,5] 强制：设染色无单色和。1 与 2 异色（1+1=2）——设 1 红、2 蓝。2+2=4 ⟹ 4 红。1+4=5 ⟹ 5 蓝。考察 3：若 3 红，则 1+3=4 是 «红 红 红» 单色；若 3 蓝，则 2+3=5 是 «蓝 蓝 蓝» 单色——两支皆矛盾。□
命题 2（舒尔定理的一般上界，1916；陈述＋机制） S(r) ≤ ⌊e r!⌋ 型（舒尔的原始递归：以 «色类的和链» 论证）。现代改进（Abbott–Hanson、Salehi 等）给出更细的递归界；下界侧 S(r) > 3r 型构造（指数）与上界 «阶乘» 之间的指数鸿沟是理论侧主缺口。
机制 舒尔的递归：r-染色取 «最大色类» C，其 «差集» 论证给出 (r−1)-色子结构——«递归掉一层色 ⟹ 规模乘一个因子»，累积成阶乘型上界。□
命题 3（S(5)=160 的计算证明结构，Heule 2017；陈述） 显式 159-染色＋160 不可满足：把染色约束化为 SAT（每点变量、每 «和三元组» 子句），用立方体式分治（cube-and-conquer）在约 2 万核集群上运行月余关闭。这是 SAT 引擎在 «和型拉姆齐» 上的旗舰战绩。
说明 S(6) 的现状：下界 536 与 «阶乘型» 理论上界之间天堑；cube-and-conquer 的规模预估使 «万核» 变 «百万核» ——方法论的边际递减已经显现。□
进展与文献
Schur 1916；Abbott–Hanson–Toft 的经典界；Heule《Schur Number Five》(2017/18)；SAT 与拉姆齐数的综合综述（Rado 数侧）。开放核心：S(6)（及 «SAT 时代» 的下一个精确值）；舒尔数的指数常数；与拉姆齐数 R(3,…,3) 的 «指数关系» 精确化（S(r) 与 «图拉姆齐» 的已知连接是 «弱界»）。