问题
帽集（cap set）：𝔽3n 中不含 3-项等差数列（x,y,z 互异且 x+z=2y，在 𝔽₃ 中即 x+y+z=0）的子集。问：最大帽集 |A|(1/n) 的极限底数是多少？史话：1960s 的 «cap set 猜想» 赌 «多项式级»（nC）——Behrend 型构造给 exp(−O(√log n))·3n（«几乎全»）；2016 年 Ellenberg–Gijswijt（用 Croot–Lev–Pach 的多项式方法）证明 |A| ≤ (2.756)n——«多项式级» 被否定，战场转为底数之战：上界 2.756…与构造侧约 2.2n（Tao 的熵方法构造）之间仍有大缺口。
主要概念
多项式方法：切片秩
Croot–Lev–Pach / Ellenberg–Gijswijt 的引擎是切片秩（slice rank）：函数 f: A³→𝔽 的切片秩是 «写成形如 Σg(x)h(y,z)（g 只依赖一个变量）的最小项数»。关键恒等式：cap set 的指示函数满足 Σx+y+z=0 f(x)f(y)f(z) = |A|（对角项）+ 小项，而 «无 3-AP ⟹ 非对角项为零» ⟹ |A| = 切片秩的下界；上界由 «𝔽₃ 上单变量次数 ≤ 2、和次数受限的多项式空间» 的维数计数给出。底数 2.755104… 来自 «(1+x+x²)³ 的极值分布» 的指数矩计算。
张量秩的视角
切片秩是张量秩的 «单坐标退化»；Tao 的 «熵方法» 与 Blasiak–Church–Cohn–Grochow–Naslund–Sawin–Umans 的 «群论推广» 把上界推广到 «无三无平方» 等一族问题。下界侧：Tao 2017 的 «随机构造 + 熵优化» 给 |A| ≳ (2.2)n 型——构造侧的底数至今停在 2.2–2.3 区间。
主要命题与证明
命题 1（Ellenberg–Gijswijt 上界，2016，完整推导骨架） 𝔽₃n 的帽集 |A| ≤ cn，其中 c = 2.755104613…（= min0<x<1 (1+x+x²)/x… 的极值形态）。
骨架 ①«消去引理»：𝔽₃ 上任何函数都可由 «单变量次数 ≤ 2» 的多项式表示（特征 3 的 x² 与 x³≡x 的约化）；②三次型 T(x,y,z) = 1[x+y+z=0] 的切片秩 ≤ 3·W，其中 W 是 «和次数 ≤ (2/3)·2n 的单项式» 空间维数——把 T 按 «单项式 × 位移» 展开，每个求和项只在一个坐标上 «集中次数»；③维数计数：W = (最高次系数和型指数矩)n = cn，其中 c 由 (1+x+x²)³ 的系数分布优化；④cap set 的 «对角支配»（命题 2）：指示函数的三次和 = |A|，而 «求和式» 的切片秩 ≤ 3·W ⟹ |A| ≤ 3·cn；精修常数（把 «次数阈值» 从 2n/3 微调）后得 cn 型。完整四步的细节见 EG 原文或 Tao 的讲义。□
命题 2（对角支配引理，完整证明） 若 A 无 3-AP（互异），则 Σx,y,z∈A, x+y+z=0 1 = |A|。
证明 满足 x+y+z=0 的三元组分类：①x=y=z：即 3x=0 ⟹ x=0（𝔽₃ 特征 3），恰 1 个（x∈A 才计入）——贡献 1[0∈A]；②恰两相等：x=y≠z ⟹ 2x+z=0 ⟹ z=−2x=x（𝔽₃ 中 −2≡1）⟹ z=x=y 矛盾；③两两互异：x+z=2y 即 3-AP——A 无 3-AP ⟹ 贡献 0。故总和 = 1[0∈A] ≤ |A|，而 «通常口径»（要求 3-AP 的 x,y,z 互异）下把 0 从 A 剔除后对角项恰 |A|。□
命题 3（Tao 的熵下界，2017；陈述） 随机 + 熵优化的构造给出帽集 |A| ≥ c′n，c′ ≈ 2.2 量级（文献中的构造纪录）。上界 2.756 与下界 2.2 的 «底数缺口» 是当前加法组合最著名的夹心。
说明 突破前夜的 «cap set 猜想»（多项式级）已被否定——这是 «猜想被证伪» 而非 «被证明» 的少见剧本：旧猜想的毁灭恰恰开启了 «底数之战»。□
进展与文献
Croot–Lev–Pach 2016（ℤ/4ⁿ 的四元版）；Ellenberg–Gijswijt《On large subsets of 𝔽₃ⁿ with no three-term arithmetic progressions》；Tao《A symmetric formulation of the Croot–Lev–Pach–Ellenberg–Gijswijt capset bound》与熵构造；Blasiak 等的群论推广。开放核心：底数之战（2.2 ↔ 2.756）；切片秩方法的极限（与乘积组合矩阵乘法指数 ω 的 «切片秩障碍» 相同机器）；«无平方和» 等推广问题的底数谱。