问题
Lee 度量：ℤ 上 «循环距离» —— |a|L = min(|a|, n−|a|) 在 ℤn 中，ℤn 上取坐标和。完美码：半径 r 的 Lee 球恰好铺满整个空间（无重叠无缝隙）。汉明度量的完美码已完全分类（Tietäväinen–van Lint 1970s：Hamming 码与二元/三元 Golay 码之外无，且都是线性的）；Lee 度量的对应分类残缺：已知零星族（Golay 的 Lee 版、Golomb–Welch 的负例区间）之外，«非线性的 Lee 完美码» 是否存在是码论的持久缺口。它也是 «晶格铺球» 问题的码论投影——与几何数论（«Lee 球 = 交叉多面体»）相连。
主要概念
Lee 球的体积与铺满条件
ℤn 中半径 r 的 Lee 球体积 = Σj=0min(r,n) 2jC(n,j)C(r,j)（«先选 j 个 «双动» 坐标» 的组合公式）。完美 ⟺ 码字数 × 球体积 = 空间大小——对 ℤn（无限空间）化为 «晶格铺满»：码的 «Voronoi 域» 恰是 Lee 球 ⟺ 晶格的 «覆盖半径 = r 且球无重叠»。Golomb–Welch 猜想（1970）：半径 r ≥ 2 的 Lee 球不能铺满 ℤn（n 大时）——已对大 n（Kim 等）证明，小 n 残留。
有限字母表的情形
ℤqn 的 Lee 完美码：「线性」情形有 Tietäväinen 型部分分类；「非线性」情形的 «零星» 完美码（如 q=5 的某些族）使分类复杂化——汉明度量下 «线性 ⟹ 完美 ⟹ 已知族» 的链条在 Lee 度量下断裂。
主要命题与证明
命题 1（汉明完美码分类，Tietäväinen–van Lint；陈述） 汉明度量下，ℤqn（或 𝔽qn）的非平凡完美纠错码只有 Hamming 码族与 Golay 码（二元、三元）。证明走 « Lloyd 定理 »（完美码的 «均匀分布» 强制）+ 参数方程的数论分析。
说明 Lloyd 定理是 «完美 ⟹ 谱约束» 的原型：完美码的 «距离分布» 使某多项式在特定点上取 «整数» ——数论约束直接排除绝大多数参数。□
命题 2（Golomb–Welch 负例，1970 起的攻坚；陈述） ℤn 中半径 r ≥ 2 的 Lee 球不可铺满，对 «n 充分大»（相对 r）已证（Kim–Post等人 2010s 的系列：用 «模算术» 与 «体积-表面积» 论证）；小 n（如 n=2,3,4 的若干 r）的残留情形是当前战场。
说明 n=2 时 Lee 球是 «钻石»（旋转 45° 的正方形），钻石铺平面 = 对角晶格铺满 ✓（r 任意）—— «小维反例» 真实存在，这正是分类 «残缺» 的几何原因：n=2 的完美码族（对角晶格）不在 «线性 Golay 型» 模板里。□
命题 3（有限域 Lee 完美码的零星谱；陈述） ℤqn 的 Lee 完美码已知零星族：Golay 码的 Lee 版（q=11 的 «三元 Golay 的 Lee 对应»）、若干 «r=1 的 Hamming-Lee 族» 与零星非线性例。完整分类（含 «非线性» 的排除）未完成——Lloyd 型谱约束在 Lee 度量下的对应版只覆盖部分情形。
说明 本问题的 «设计» 接口：完美码 = «完美覆盖设计» 的度量版，与 06 号覆盖数同族——«完美» 概念在设计理论的三个度量（汉明/Lee/覆盖）上的命运各异，是 «度量几何决定组合命运» 的标本。□
进展与文献
Golomb–Welch《Perfect codes in the Lee metric》(1970)；Tietäväinen 与 van Lint 的汉明分类；Kim–Post 的 Lee 铺满负例系列；Horak 的模算术方法。开放核心：Golomb–Welch 猜想的小维残留；非线性 Lee 完美码的排除；Lee 度量下的 «Lloyd 定理» 完整版。