问题
MDS 码（maximum distance separable）：达到 Singleton 界 [n,k,d] 码（d = n−k+1）；生成矩阵的 «任何 k 列线性无关»。MDS 猜想：𝔽q 上非平凡 MDS 码长 n ≤ q+1（除 q 偶且 k=3 或 q−1 时的 q+2 例外）。有限几何等价：MDS 码 ⟺ 𝔽qk 中的 弧（arc：任何 k 点不超面）——«n ≤ q+1» 即 «k-弧的大小界»。Segre 时代起的部分结果（素数 q、多数偶 q）已由 Ball 等（2010 年代）确立；合数域与非素数幂 q 的残余情形未合龙。与 04 号（Rao 界）、11 号（卵形）互锁：k=3 时弧 = «卵形线»，MDS 猜想退化为 Segre 的卵形定理。
主要概念
弧、法线与 «第二主要猜想»
k-弧 S ⊆ PG(k−1,q)：任何超平面交 S 至多 k 点。MDS 猜想的几何证明机器：①«q 偶的 k=3 例外» ⟸ «超卵形»（q+2 点的 hyperoval，11 号）；②一般证明的 «法线» 技术：过弧外点的 «弧切» 计数给出 «n 与 q 的整除链»；③Ball 的突破：素数 q 时 «n ≤ q+1»（2012）用 «代数几何 + 组合» 的混合论证（«切超曲面» 的重数计账）。
为什么合数域难
«弧的代数» 依赖 «多项式插值 + 有限域的本原性»：素数域的 «乘法群循环» 给 «弧点的参数化»，合数域（尤其非素数幂——即 «不是任何域» 的 «q» 只有计数意义）连 «插值工具» 都要重新设计。MDS 猜想是 «素数幂猜想»（09 号）在码论侧的镜像。
主要命题与证明
命题 1（MDS ⟺ 弧，完整证明） [n,k] MDS 码（生成矩阵满秩）⟺ 其生成矩阵的列是 PG(k−1,q) 中的 n-弧（任何 k 列线性无关 ⟺ 任何 k 列张成全空间 ⟺ 任何超平面至多含 k−1 列…准确口径：任何 k 列构成基 ⟺ 任何 k 点不在同一超平面）。
证明 生成矩阵 G（k×n，秩 k）。MDS ⟺ 任何 k 列满秩（Singleton 界的取等条件：删去任意 n−k 列仍秩 k）。列向量组 {gj}：任何 k 个张成 𝔽qk ⟺ 任何超平面（k−1 维）至多含 k−1 个列点 ⟺ 列点是 n-弧。反之给弧即构 MDS 码。□
命题 2（Ball 的素数域定理，2012；陈述） q 素数时，𝔽q 上非平凡 MDS 码长 n ≤ q+1（加上偶 q 的已知例外）。机制：«切超曲面» 重数计账——弧点的 «多项式插值» 给 «代数曲线»，曲线的 «切重数» 与 «Bézout 型» 计数联立排除 n ≥ q+2。
说明 这是 Segre 1955（k=3，卵形，11 号命题 2）之后的最大单步：把 «卵形皆二次曲线» 的思想升到任意 k。□
命题 3（偶域例外与残余；陈述） q 偶、k=3：超卵形（q+2 弧）真实存在（11 号），对应 «n=q+2 的 MDS 码»——例外不是 «猜想漏洞» 而是 «真结构»。残余：合数（非素数）域的弧界、以及 «非素数幂 q» 的 «MDS 码» 定义退化情形——两者构成未合龙的尾部。
说明 与 04 号的联动：MDS 码达到 Singleton 界 ⟺ 相应 OA 达到 Rao 界——36 号的每一步同时是 04 号 «达到界的谱» 的一步。□
进展与文献
Segre 1955；Ball《On sets of vectors of a finite vector space in which every subset of basis size is a basis》(2012) 及后续；Ball–De Beule 的弧理论；与 11 号卵形文献互通。开放核心：合数域弧界；«q+2 例外» 的完全清单；MDS 猜想的 «加权版»（广义 MDS，与卷积码相关）。