问题
A ⊂ ℕ 是渐进加法基：每个充分大的整数都能写成 a+a′（a,a′ ∈ A）。表示函数 r(n) = #{(a,a′): a+a′=n}。爱多士–图兰猜想（1941）：渐进基的表示函数必然无界——lim sup r(n) = ∞。所有已知 «薄基»（|A∩[1,x] ~ x1/2 型的稀疏基）的表示函数都无界增长（且构造时 «故意» 让 r(n) 振荡）；但 «无界是必然» 五十年未证。已证的弱版：Sárközy–Szemerédi 1978——r(n) 在平均意义下无界（见命题 3）。
主要概念
薄基与 «补集» 构造
渐进基的 «最薄» 可能：计数给出 |A∩[1,x| ≥ x1/2·(1−o(1))（每对盖一个数）；Raikov–Stöhr 构造达到（二进制 «分位» 集合：A = «22k 位» ∪ «22k+1 位» 的拼合）。薄基的 r(n) 在构造中 «设计为 1 或 2»——«完美的薄基»（r 恒 ≤2）是否存在正是猜想的内容：猜想断言 «不存在»（任何基必在某些 n 上 «堆积»）。
平均无界的机器
Sárközy–Szemerédi 用 «二阶矩»:若 r(n) 有界（≤L），则 Σr² ≤ L·Σr；而 «基性» 强迫 Σr(n) ≥ x（所有 n≤x 被表示）。矛盾方向需要 «Σr² 的下界超越 Lx»——他们用 «大篮子» 论证（«集合的差» 结构）证得 Σr² ≥ x log… x 型，从而 L 必随 x 增长——«平均 L → ∞»。
主要命题与证明
命题 1（薄基的下界，完整证明） 若 A 是 [1,x] 的基（每个 1..x 可表示），则 |A∩[1,x]| ≥ √(2x)−o(√x)。
证明 每个 «和» 由无序对 {a,a′}（含 a=a′）给出，m 个元素的集合至多产生 m(m+1)/2 个 «和»（允许重复计数前的不重复和数上界）。要覆盖 [1,x] 的全部 x 个数：m(m+1)/2 ≥ x ⟹ m ≥ √(2x)−O(1)。□
命题 2（Raikov–Stöhr 薄基，1948–57；构造＋表示函数） 存在渐进基 A，|A∩[1,x| ≤ C√x log x（«近薄»），其表示函数 r(n) 无界但 «缓慢» 增长——构造按二进制 «位带» 分配（偶数位带表示 «低位»、奇数位带表示 «高位»， carry 的处理使 «某些 n 的表示数» 堆积）。
说明 «近薄且 r 缓慢增长» 与 «r 有界» 之间的鸿沟正是猜想：所有构造都 «带着无界尾巴»，没人能证明尾巴必然存在。□
命题 3（Sárközy–Szemerédi 平均无界，1978；陈述） 若 A 是渐进基，则 r(n) 在平均意义下必然无界——表示函数不可能 «平均有界»。证明用 «二阶矩» 与 «集合的差结构» 的计数联合。
说明 «平均无界» 与猜想所求的 «逐点无界»（lim sup r(n) = ∞）之间的定量鸿沟是剩余困难：平均口径允许 «堆积被稀疏化»，逐点口径要求 «存在具体的大值»——«从均方到尖峰» 的最后一步五十年未跨。□
进展与文献
Erdős–Turán 1941；Raikov–Stöhr 的薄基构造；Sárközy–Szemerédi 1978；Hegyvári–Hennecart 的基表示专题；Tao–Vu 的加法组合教材第 8 章。开放核心：猜想本体（lim sup r=∞ 的证明）；«有界表示的基不存在» 的任何新必要条件；与 «非负整数集的表示» 一般理论（«加法基的集合论» ）的整合。