问题
给定 k 种面额（含 1），每个 «信封» 至多贴 h 张，可精确支付的最大连续整数 n(h,k) 是多少（对最优面额选择）？固定 k、h→∞ 的主项已知：n(h,k) ~ ck·hk 型（«Frobenius 型»：面积–体积论证）。本问题：渐近常数 ck（Stöhr 型常数）的存在性与显式值——只有 k ≤ 3 确定并可加推广；一般 k 的 «邮票常数» 是数值半群理论的门面问题（与《半群》分册联动）。
主要概念
主项的体积论证
«贴 h 张» 的支付集合是 «单形和»：h·(k 种面额的单形) 在整数格里的 «体积» ——对最优面额 {1, m, m²,…}（近几何数列），体积 ≈ hk/(!) 型常数。主项证明用 «上下夹逼»：内接/外切单形。常数 ck 的 «极值问题»：在 «面额单形» 上最大化 «格点体积»——一个离散几何的变分问题。
k≤3 的已知谱
k=1：平凡（n=h）。k=2：精确值 n(h,2) = ⌊(h+3)²/4⌋−2、常数 c₂ = 1/4（命题 2 完整推导）。Stöhr 1955：k=3 的常数确定；«可加推广» 的路线（«ck 常数由 «k−1 常数» 的极值延拓»）在 k=4 处断裂——极值构形从 «整齐» 变 «混沌»。
主要命题与证明
命题 1（主项的体积夹逼，完整推导） 对固定面额集 A = {a₁,…,ak}（gcd=1），可支付集 hA 的 «连续覆盖» 长度 n(h,A) 满足 n(h,A) = V(A)·hk + O(hk−1)，其中 V(A) = k!·vol{Σtjaj : tj ≥ 0, Σtj ≤ 1} 的 «归一化格点体积»。
推导 支付 = Σtjaj（Σtj ≤ h，tj 非负整数）。«单形» Δ(A) = {Σtjaj : Σtj ≤ 1, t ≥ 0} 的 h 倍缩放含 «格点» ≈ vol·hk；«连续覆盖到 n» ⟺ [1,n] ⊆ 支付集 ⟺ 单形的 «截面» 条件；由 Ehrhart 型理论（格点单形的计数多项式）得主项 = k!·vol(Δ)·hk 的整数格修正，误差 O(hk−1) 来自 «格点在单形边界的余项»。□
命题 2（k=2 的精确值与常数，完整证明） n(h,2) = ⌊(h+3)²/4⌋ − 2（最优面额 a = ⌊(h+3)/2⌋ 或其上取整），故 c₂ = 1/4。
证明 面额 {1,a}，至多 h 张。支付形如 j·a + i（i+j ≤ h），对固定 j 是区间 [ja, ja+h−j]。相邻块 j 与 j+1 相接（无逢）⟺ (j+1)a ≤ ja + (h−j) + 1 ⟺ a+j ≤ h+1。故块 j = 0,1,…,L 连续相接，其中 L = h+2−a（取 a ≤ h+2）；连续覆盖的终点 n(a) = L·a + (h−L) = (h+2−a)(a−1) + h = −a² + (h+3)a − 2。这是关于 a 的凹二次式，在 a* = (h+3)/2 取最大：max n = ⌊(h+3)²/4⌋ − 2。渐近 h²/4 ⟹ c₂ = 1/4。□
命题 3（k≥4 的断裂；陈述） c₃ 已定（Stöhr 1955，显式代数常数）；c₄ 及以上未定——极值构形不再 «整齐»（数值实验显示 «准随机» 面额结构），«变分极值» 的存在性本身是开问题。«邮票常数» 的地图与数值半群的 «Frobenius 数» 理论（《半群》分册）在 k 维格点上交汇。
说明 «主项容易、常数难» 的格局使本问题成为 «渐近理论完整、精细理论空白» 的标本——与 25–29 号的 «精确值» 家族形成两极。□
进展与文献
Stöhr 1955；Hofmeister 的 k≤8 数值攻坚；Guy《Unsolved Problems in Number Theory》的 C 节；数值半群理论（Ramírez Alfonsín《The Diophantine Frobenius Problem》）。开放核心：c₄ 的存在性；«变分极值构形» 的结构；与 «加法基»（42 号）的 «覆盖效率» 对偶。