问题
[1,n] 中不含 3-项等差数列（x,y,z 互异且 x+z=2y）的子集最大多大？记 r₃(n)。已知：Behrend 下界（1946）r₃(n) ≥ n·exp(−C√(log n))——70 余年未被实质超越（Elkin 的指数常数改进是唯一微雕）；上界侧：Roth（1953）n/log log n → Sanders → Bloom–Sisask（2020）n/(log n)1+c——上下界之间是 «exp vs log» 的天壤，这是加法组合最著名的 «上下界夹心»。与 30 号（𝔽₃ⁿ 的帽集）对照：有限域向量的 «多项式方法革命» 没有给整数情形带来实质突破——«序结构» 使机器失灵。
主要概念
Behrend 的球面构造
把 [1,n] 的数写成 d 维 «数字»（基 m）：落在 «半径固定的高维球面» 上的点无 3-AP（球面上 «中点严格在球内»——严格凸性）。选 «最大层» 得 «大无 AP 集»：优化 d 给 exp(−C√log n) 型。构造的 «凸性» 是全部魔力的来源——而有限域无序无凸，故 30 号的机器在这里失效。
上界的 «密度增量» 机器
Roth 的机器：密度增量迭代——«正密度的集合有 «近» 密集子区间»（能量增量），迭代 log log n 次清零。每次增量的 «定量» 是四十年改进的战场（Heath-Brown、Szemerédi、Bourgain、Sanders、Bloom–Sisask）；当前上界 n/(log n)1+o(1) 的 «下一个常数» 是现役攻坚点。
主要命题与证明
命题 1（Behrend 下界，1946，完整证明） 存在 A ⊆ [1,n]，无 3-AP，|A| ≥ n·exp(−2√(2 log 2·log n)·(1+o(1)))。
证明 取基 m=2⌈√log₂ n⌉、维数 d 使 md ≈ n：把 [1,n] 的数对应 «坐标和 ≤ m» 的格点 {[x₁,…,xd]ₘ}（数字 xj ∈ [0,m/2)）。格点落在 «球壳» 半径 r ∈ [0, d(m/2)²) 的球面族中，由鸽笼某球面含 ≥ 格点总数/球面个数 ≈ n/（d·m²）个点。球面上的点集无 3-AP：若 x+z=2y（坐标级），则 |x|²+|z|² = 2|y|²+2|y−x|² ≥ 2|y|²，等号 ⟺ x=y=z（严格凸性）——互异 3-AP 不可能同球面。|A| ≥ n/(2d·m²) = n·exp(−O(√log n))。□
命题 2（Roth 定理的定量形态；陈述） r₃(n) ≤ C n/(log n)1+c（Bloom–Sisask 2020，c>0 显式）。历史：Roth 1953（log log）、Heath-Brown/Szemerédi（logc）、Bourgain（log/log^{1−ε} 微调）、Sanders（(log n)1/2−o(1) 的 «除数» 形态）、Bloom–Sisask 突破到 «>1 的幂»。机器：密度增量 + «能量 » 的 Fourier 控制。
说明 «下界 exp(−√log) vs 上界 (log)^{−1−c}»：两端在 «对数尺度» 上相距一个 «exp»——«Behrend 是否接近真相» 是整数 AP 理论的百年之问。□
命题 3（Kelley–Meka 的 2023 突破；陈述） Kelley–Meka（2023）把上界大幅改进到 «准 Behrend»：⟨准指数的 «随机化 Fourier» 论证⟩——整数情形的 «多项式方法革命» 初现端倪；«Behrend 型下界是否最优» 的判定因此进入射程。
说明 这是 «谱系最新一格»： Kelley–Meka 的机器（«分级 Fourier + 随机化» ）首次让整数上界 «接近» Behrend 的指数——两端的会合是本十年的头号悬念。□
进展与文献
Behrend 1946；Roth 1953；Sanders 2011；Bloom–Sisask 2020；Kelley–Meka 2023；Elkin 的下界微雕；Tao–Vu 教材第 10 章。开放核心：r₃(n) 的真渐近；«整数 cap set» 的机器移植极限；高阶 AP（k≥4 项）的对应常数谱（Gowers 界与 green–Tao 的应用侧）。