问题
Room 方（Room square）：n×n 的方格（n 奇），每格或空或放 «一对» 无序点对，满足：①每个符号恰在每行、每列出现一次；②每个 «无序对» 恰出现一次。它是 «双打循环赛表» 的数学化（n+1 个队、n 轮、每轮场地不冲突）——等价于 «Kn+1 的 1-因子分解的 «对偶» 拼装»。Howell 设计 H(s,2n)：Room 方的 «部分符号» 推广（s 轮、2n 队）。谱问题：参数谱何时存在？存在性判据覆盖多数同余类（Room 方存在 ⟺ n 为奇且 n ≠ 3,5——1970s 完全解决），剩余类（Howell 设计的完整谱、«极小 Room 方»）未合流。
主要概念
Room 方与 P1F 的对偶
Room 方 ⟺ «Kn+1 的 1-因子分解 + 行列的 «双正交» 排列»：行 = 因子、列 = «轮次» 的重排——«对偶» 指行与列 «对称地» 承载因子结构（18 号 P1F 的 «完美性» 在这里变成 «行列双条件»）。Room 方的存在性（n ≠ 3,5）是 «starter 加倍» 机器的胜利：«starter» 构造 + «乘积构造»（小方拼大方）覆盖所有奇 n ≥ 7。
Howell 设计的谱
Howell 设计 H(s,2n)：2n 个符号、s 列（轮），每列 «n 对铺满全部 2n 符号»、每符号每列恰一次、每对至多一次——«Room 方去掉 «全部对» 的要求»。存在谱：s 的范围 2n−1 ≤ s ≤ C(2n,2)/n 内的分段已知（«下端» 与 «上端» 的判据定理），中段的完整谱未合流。
主要命题与证明
命题 1（Room 方存在定理，1970s；陈述） n 阶 Room 方存在 ⟺ n 为奇数且 n ≥ 7（n=1 平凡、n=3,5 不存在）。
说明 必要性：n=3,5 的不可存在由 «符号对数 vs 格位» 的计数与 «starter 不存在»（3,5 元集合无差覆盖 starter）给出；充分性是 «starter + 乘积» 的大工程（Stanton–Mullin–Anderson 的系列）。□
命题 2（与 P1F 的对偶翻译，完整证明） n 阶 Room 方 ⟹ Kn+1 的 1-因子分解；反之 «带 «α-标号» 的 P1F»（每因子配 «行列指标» 的双正交结构）给出 Room 方。
证明 Room 方的 «行» 是 «部分 1-因子»（每符号恰一次 ⟹ 覆盖全部 n+1 个符号中的 «成对者»）：行列联合的 «每对恰一次» ⟹ «行 ∪ 列指标» 给出 Kn+1 的完整边分划——每 «行+列» 组合是一个 1-因子（«行-列对» 的 «斜» 结构），共 n 个因子（Kn+1 恰需 n 个因子）✓。反向：P1F 的因子序列 + «每因子的 «旋转指标»» 的双正交排列（«α-标号»）装配 Room 方。□
命题 3（Howell 谱的已知段；陈述） Howell 设计的参数 s 有一个 «可行区间»（下端由 «每符号每列恰一次» 的计数给出，上端由 «对数 » 的计数给出）：下端与上端的判据定理已立（«上端» = «满 Howell» ⟺ Room 型条件），中段部分闭合；«极小 Room 方»（«块最少» 的变体）与 «斜 Room 方»（skew）的谱各有剩余类。
说明 斜 Room 方与 «最优 tournament 调度»、«光正交码» 相连——工程需求把 «谱的剩余类» 变成 «有真值表压力» 的开放题。□
进展与文献
Room 1955 的原始方；Stanton–Mullin–Anderson 的存在性系列；Dinitz–Stinson 的 «Room squares and Howell designs» 综述（Handbook 章）；与 18 号 P1F、43 号覆盖的交叉。开放核心：Howell 谱中段；极小与斜 Room 方的完整谱；«双正交标号» 的系统理论。