问题
大设计与大单群的对应清单四十年持续加长：5-(24,8,1) ↔ M₂₄（Mathieu）、Leech 晶格 ↔ Conway 群、Golay 码 ↔ 散在群族、Higman–Sims 设计 ↔ Higman–Sims 群（该群正是作为 «这个设计的自同构群» 被发现的！）、魔群 ↔ 月光（ monstrous moonshine 的模形式侧）。问题：这些对应是 «冰山一角»（更多对应待发现）还是 «全部»（清单已闭合但没有定理说明闭合）？«为什么大设计总牵着大群» 没有理论解释——系统性理论（«设计-群对应» 的解释框架）是设计理论最浪漫的开放前沿。
主要概念
对应的三种机制
①群 → 设计：高传递群作用的 «轨道设计»（群给出块轨道，整除条件自动满足）——«构造» 方向；②设计 → 群：大设计的自同构群 «被强制» 为已知群（Higman–Sims 型发现：设计的 «巨大对称性» 本身定义新群——CFSG 之后 «新群» 不再可能，方向变为 «设计 ⟹ 已知群»）；③共同源头：设计与群都 «来自» 更深的结构（Moonlight：魔群与 j-不变量的模形式——«双源» 结构）。三种机制的 «统一» 是本问题的核心。
«大» 的量化
«大设计» 的可操作定义：t ≥ 3、λ 小、点数中等（12–百级）；«大群»：散在或 «秩小» 的单群。«对应» 的量化形式：自同构群的 «传递度 ≥ t» 的 t-设计清单（39 号命题 2）与 «散在群清单»（CFSG）的 «交»——清单交的 «系统性»（按群参数预测设计参数）是路线图。
主要命题与证明
命题 1（Higman–Sims 的发现路径，完整口径） 1968 年 Higman–Sims 构造 22-点 3-设计，其自同构群是新单群（阶 44,352,000）——«设计先于群» 的发现模式。CFSG 完成后，该模式不可复制（无新单群），但 «设计 ⟹ 已知群的识别» 模式继续产出（新设计的自同构群 = 散在群的情形逐个登记）。
说明 Higman–Sims 设计的 «3-(22,6,1)» 参数与 M₂₂ 的关系：同参数的 «邻居设计» 与群表示论的 «模块» 结构—— «设计族 ↔ 群表示» 的细对应是系统化路线的样板段。□
命题 2（Moonlight 的 «双源» 结构；陈述） 魔群月光：魔群的 «不可约表示的分级特征标» 恰是 j-不变量的 Fourier 系数（Borcherds 1992 定理）—— «群 ↔ 模形式» 的深层对应经由 «顶点算子代数» 解释。«设计侧» 的对应物：Golay 码/Leech 晶格是 «顶点代数的构造原料»——设计-群-模形式的 «三角» 对应已有一个顶点（Moonlight）被定理化，另两个顶点的 «定理化» 是路线图。
说明 Borcherds 的 Fields 奖章工作证明：«浪漫对应» 可以定理化——这是本问题 «系统性理论存在» 的最强证据（proof of concept）。□
命题 3（对应清单的闭合性；陈述） «对应是否已穷尽» 的部分形式化：«传递度 ≥ t 的 t-设计的自同构群» 清单与 «散在群» 清单的交 — CFSG 使 «群侧» 有限，«设计侧» 的逐群普查（39 号）未完；«清单交» 的形状（是否 «成对出现» 的珠链结构）是可计算的目标。
说明 «可计算但未算完» 的现状与本卷 25–29 号的 «SAT 家族» 异曲同工：这里 «普查引擎» 是群论 + 设计整除，而非 SAT。□
进展与文献
Witt 1938；Higman 1968 与 Sims 的发现文；Conway–Sloane《SPLAG》的 «轴链»；Borcherds 1992（月光定理）；Gannon《Moonshine beyond the Monster》。开放核心：对应清单的闭合；«三角» 的另两个顶点定理化；«为什么大设计牵大群» 的解释性理论。