问题
伯恩赛德 1902 年问：有限生成的、指数有界的群（每个元素满足 xn = e）是否必有限？自由对象 B(m, n)（m 个生成元、指数 n 的最大群）是问题的试金石：B(m, n) 有限 ⟺ «m 生成、指数 n» 的群只有有限多个。答案出人意料地 «分形»：n = 2, 3, 4, 6 时有限；n 为大奇数时无穷（诺维科夫–阿江）；限制版（有限群内）永远有限（泽尔曼诺夫）——三条线索至今没有统一解释。
主要概念
自由伯恩赛德群
B(m, n) = «m 生成、满足 xn = e» 的泛群：任何同构象皆然的群都是它的商。它的阶（若有限）等于 «m 生成指数 n 有限群» 的最大阶。
限制版与普适版
限制伯恩赛德问题只问：固定 m, n，有限的 m-生成指数-n 群的阶是否有统一上界？泽尔曼诺夫 1991 年肯定解决（菲尔兹奖工作）；普适版（B(m,n) 本身）对大 n 为否。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 指数为 2 的群必交换（从而 B(m, 2) ≅ (ℤ/2)m，有限）。
证明 对任意 a, b：a² = b² = (ab)² = e，故每个元素是自己的逆。ab = (ab)−1 = b−1a−1 = ba。□
命题 2（完整证明） B(1, n) ≅ ℤ/nℤ：单生成、指数 n 的群都是循环群 ℤ/dℤ（d | n）的商，最大者为 ℤ/n。
证明 单生成群都循环；循环群 ℤ/dℤ 指数为 d，xn = e 对一切元成立 ⟺ d | n。□
命题 3（伯恩赛德 1902 / 泽尔曼诺夫 1991，完整陈述） （伯恩赛德）指数 3 的群是幂零群且类 ≤ 3（B(m,3) 有限）；指数 4、6 同样有限。（泽尔曼诺夫）限制版：固定 m, n，m-生成指数-n 有限群的阶有仅依赖 (m, n) 的上界——等价于 «最大剩余有限对象» R(m,n) 有限。
梗概 泽尔曼诺夫的引擎是把 «指数 n» 转译成 李代数的恩格尔条件：伴随作用的 «(ad x)N = 0» 型恒等式；再用扎尔敏斯基–科斯蒂金定理（恩格尔李代数在特征 0 下幂零）与 «李型群在特征 p 的约化» 排除无穷单商。整条路线是 «群论问题 → 李理论 → 结构定理» 的三段跳，与伯恩赛德当年 «交换子收集» 的初等方法形成两极。□
命题 4（诺维科夫–阿江 1968/1975，完整陈述） 对奇数 n ≥ 665，B(m, n) 无穷（阿江后把界降到 ≥ 665 的奇数；现知对奇 n ≥ 100 亦然——Lysënok/Coulon 的改进）。证明用 小消去理论：把 «xn = 1» 作为关系加入自由群，验证所得呈现满足 C′(λ) 型消去条件（n 足够大时字长冗余足够多），从而字问题可判定且群含自由子半群——无穷。偶指数的情形至今结构未明（n = 2^k 的 B(2, 2^k) 有限性都未知）。□
进展与文献
Adian《The Burnside problem and identities in groups》(1979)；Zelmanov 的菲尔兹奖工作（1994 综述）；Coulon 用 «小消去 + 分片双曲» 把奇指数界降至 665 以下的技术是当代组合群论的主力。剩余的地图空白：B(2, 5) 的阶已算出（约 5¹³ 量级），但 «哪些 n 给有限 B(m,n)» 的完整判据——即 «有限性带» 的边界——仍然未知；偶指数几乎是空白大陆。