群论中的 50 个公开问题

由 m 个生成、指数为 n（xⁿ=e 对一切元素）的群何时有限？自由伯恩赛德群 B(m,n) 的完整结构刻画是什么？

现状有限版已由泽尔曼诺夫解决；但诺维科夫–阿江证明大奇指数下 B(m,n) 无穷。B(2,5) 之类的具体阶已算出，一般「指数—生成元数—有限性」的判据仍是地图上的空白大陆。

有限生成的、剩余有限的、指数有界的群是否必有限？

现状这是伯恩赛德问题的现代残部（Zelmanov 定理不含剩余有限假设的 converse）。与「周期群何时线性表示」相关；目前正反两面的证据都薄。

自由伯恩赛德群 B(m,n)（大奇 n）的增长率是否恰好指数级？其增长函数的常数依赖如何？

现状阿江–勒杜利耶型证明给出指数下界与上界，但精确的「底数」与奇偶效应（偶指数情形结构迥异）未明。周期群的增长理论整体处于半定量状态。

只有一个定义关系（⟨生成元 | 一个词⟩）的群，其字问题是否总可判定？

现状阿江证明一关系群嵌入群时字问题可判定（对比：一般有限表现群的字问题不可判定，Boone–Novikov）；带挠的一关系群可判定（B. B. Newman 拼接定理）。一般情形是组合群论五十年来的头号悬案。

只有一个定义关系的独异点（幺半群）是否总能嵌入某个群？

现状带「左循环」（词首字母后接自身出现在词中）的独异点可嵌入（阿江–拉勒芒）；一般情形未证也未否证。这是半群理论与群论的著名接口（详见《半群代数》分册）。

带挠的一关系群是否都剩余有限（到有限群的满射足够分离元素）？

现状这是瓦伊斯（Wise）纲领与「拼接」技术的边界；许多带挠一关系群已知双曲、可 virtual 特殊化（从而剩余有限），一般情形的障碍在于非双曲的残余类。Kourovka 笔记本常设问题。

每个双曲群（负曲率型有限表现群）是否都剩余有限？

现状格罗莫夫 1987 年提出。大量类（ virtually 特殊化的、顶点群剩余有限的复形群）已知成立；奥尔什基扬斯基型怪物与「随机群」的证据方向相反（随机群几乎可判定但剩余有限性未知）。同调双填充猜想若真可推出它。

每个双曲群的远端边界若同胚于 2 维球面，则该群是双曲平面的格子群（余有限等距群）。

现状几何群论的中心猜想（卡农 1994）。它与黎曼几何的「整体刚化」、3 维拓扑（已由 Perelman 几何化基本解决的球面定理提供局部工具）相连；目前只知道边界几乎球面（球面定理）时的 virtual 情形。

一个函数成为某有限表现群的德恩函数（等面积不等式的面积增长率）的完整刻画是什么？

现状已知必是递归可枚举的「超加性等面积函数」类，且有大量构造实现（Gromov、Brady 等给出奇异性例）；「每个合理递归函数都可实现吗」的反例与实现并存，完整刻画未得。

群的增长函数（生成元长度的球面增长率）在多项式与指数之间到底能取哪些「形状」？

现状沃尔夫定理（多项式增长 ⇔ virtually 幂零）与格里戈丘克、奥尔什基扬斯基的中间增长构造（从 e^√n 型到任意慢的中间函数）之后，「增长谱系的完整分类」仍是一团雾：增长函数的等价类结构、可能的极限集都未明。

无挠群 G 的群环 ℂ[G] 是否无零因子？

现状对 sofic 群（Gromov 提出、近年热度巨高但存在性存疑的类）有条件证明；「存在非 sofic 群吗」本身也开放。零因子猜想的任意系数版与 L²-不变量的 Atiyah 猜想（14 号）相辅。

无挠群的群环中，幂等元是否只有 0 与 1？

现状与零因子猜想同族。2021 年加德姆–贾尔斯否证了单位猜想（构造出平凡单位之外的单位）——为这一家族敲响警钟；幂等版在 sofic 条件下成立，一般情形未决。

无挠群的格子在 ℓ²-上同调中的维数是否总为整数（强版：格子自由部分的任意 ℓ²-算子核维数为整数或无穷）？

现状对格子自由群、sofic 群的弱版已证；一般群的「维数取值集合」是 ℓ²-不变量理论（Lück 维数）的核心未知。它与 11 号互推。

汤普森群 F（区间折纸群）是否顺从（可平均）？

现状1980 年代以来的著名悬案。F 无自由子群（Brin–Squier），故与冯·诺依曼问题的原始直觉一致；但顺从性判据（如 Følner 集、内正合列结构）迟迟未能落地。T、V 已知非顺从。

是否每个无自由子群的群都可用某种「广义平均」刻画顺从性的边界？

现状奥尔什基扬斯基怪物（无自由子群但非顺从）已回答原始问题为「否」；但「无自由子群 ⇔ 不含自由子群的群构成多大的类」的精细分层（amenable ⊂ sofic ⊂ ? ⊂ 无自由子群）中每一条包含是否严格，多数未知。

能否给出有限单群分类（CFSG）的自足、系统性新证明（GLS 项目）？预计数万页的工程能否完成？

现状原证明散落在约万页、五百余作者的文章中；Gorenstein–Lyons–Solomon 的系列规划已完成部分。它不是「新数学」而是「数学基础设施」——但对依赖 CFSG 的数百个定理而言生死攸关。

对固定的 n，p-群的个数 f(p,n)（p 为素数变元）是否由「素数幂剩余类上的多项式」（PORC 函数）给出？

现状Higman 1960 年同时给出 PORC 猜想与著名的渐近 p^{(2/27+o(1))n³}（与 Sims 独立）。小 n（≤11）的计算支持 PORC；一般情形连 n=12 都未验证。p-群计数是「组合数论撞上群论」的活化石。

有限单群能由怎样的对合（二阶元）组合生成？两个对合生成的群必为二面体群，故「两个对合」的字面提法已被否定，问题在现代形式下展开：一个对合加上另一元素能否生成？三个对合呢？(2,3)-生成又如何？

现状字面版已否定——两对合生成群必为二面体群（完整证明见专题综述）。现代形式全面推进：「对合＋另一元素」生成已成定理（阿斯巴克斯–格鲁拉克–卢贝茨基，经 CFSG）；三对合生成的散在核查与 (2,3)-生成的完整家族表是剩余战线；「生成对谱」（哪些共轭类对能生成，迪克逊谱在 PSL₂ 上已完全算出）是计算群论与 CFSG 的接口。

哪些有限格可以作为某个有限群的正规子群格（或子群格）？

现状帕金 theorem 给出大量不可能格（模性约束）；「每个有限格都是某有限群子群格的一段」类结果存在，但完整刻画远未完成。格论与群论的这条接口五十年仍在施工。

给定群的阶与其结构，交换子长度的最大值（交换子宽度）何时达到？是否有与「圈积」对应的统一公式？

现状交换子长度 cl(g) 的稳定化（Culler–Vogtmann 等）与置换群的交换子宽度（Liebeck 等）有大量计算与界，但「有限单群交换子宽度的精确表」未完成；稳定交换子长度的可计算性也开。

每个有限群都是 ℚ 上某个多项式的伽罗瓦群吗？

现状对可解群（Shafarevich 定理）、对称群、多数 Lie 型群在「至少一个数域」意义下成立；ℚ 上的完整版本连交错群 A_n（n 大）都只有 Serre 型条件结果（模形式方法）。正则版本（有理函数域 ℚ(t) 上）更难。

固定群 G 的 ℚ-多项式的伽罗瓦群按高度分布是否趋近于马勒测度给出的显式密度？

现状对 G=S_n（van der Waerden–Gallagher 谱系）与交换群已证；一般群需要「计数伽罗瓦扩张」的重型机器（Ellenberg–Venkatesh 等），一般性未证。它是算术统计的支柱性猜想。

存在不同构的有限群 G≠H，其绝对伽罗瓦群/profinite 完成完全同构——这样的「格罗滕迪克对」有多普遍？哪些群是「profinite 刚性」的？

现状对（如辫群 B₃ 与某些克莱因群的对子）已知；自由群、ℤ 的格子、许多 3 流形群已证刚性（Bridson 等 2020 前后的大规模工程同时构造出大批非刚性群）。「哪些格子在 ℤⁿ 上刚性」是当前活跃前线。

每个有限群的每个连通凯莱图都有哈密顿圈吗？

现状交换群已解（Chen–Quimpo 1976）；二面体群、多数小群验证成立。Lovász 把它作为「顶点传递图哈密顿性」（见图论分册）的群论特例提出。连 S_n 的一般生成集情形都要新思想。

两个凯莱图同构何时能由生成集间的群自同构解释？哪些群的所有生成集都如此（CI-群）？

现状原始 Ádám 猜想有反例；修正版对循环素数幂阶群（Alspach）、部分 2-群成立。CI-群的完全分类未完成，与「凯莱图的同构检验算法」直接挂钩。

任何群、任何生成集下，凯莱图直径是否至多 (log |G|)^C（C 绝对常数）？

现状Babai–Szemerédi 的 (log n)⁵ 型上界四十年原地踏步（常数略降）；「乘积混洗算法」与展开图之间的桥梁未搭成。与图论分册 38 号同源。

格罗莫夫密度模型中，「平凡群 ⇔ 无穷群」「双曲 ⇔ 非」的阈值在密度 1/2 处是否锐利？阈值两侧的精细结构？

现状密度 <1/2 时以指数 1 概率双曲且不平凡（格罗莫夫、奥尔什基扬斯基）；>1/2 时以指数 1 概率平凡（Dahmani–Guirardel–Osin）。恰好 1/2 的行为完全未知；「相变是否锐利」是几何群论的概率前沿。

哪些有限生成群可以忠实线性表示到某个域上的 GL(n,k)？线性群的生成增长有什么统一律？

现状线性群的增长一致指数或多项式（Eskin–Mozes–Oh、Breuillard）已证；反向问题（增长性质推出线性性？）只有零星结果（Shalom 的调和分析路线）。三流形群全部线性（Thurston 几何化推论）是最大成功案例。

本原置换群的「度与其极小阶非平凡元素」的统一不等式（如 |G|≤n^{c log n} 型）能否对所有本原群成立且常数最优？

现状马乔里斯–派伯（Maróti）与 Liebeck–Pyber 的谱系给出多个常数；最优常数与「仿射型例外」的处理未合流。置换群论在 CFSG 之后仍在精细化。

哪些群的自同构群等于内自同构群（完备群）？完备群在群类中的「密度」如何？

现状完备群存在性（Burnside 构造、Holt）与「几乎所有群完备」（随机群以指数 1 概率完备，Dahmani 等）之间，是对具体群类（幂零群、多循环群）的系统刻画缺失。

是否每个有限表现的霍普夫群（满自同构必为自同构）都是可判定的？非霍普夫的有限表现群的结构谱是什么？

现状Mal'cev：剩余有限群 Hopfian。非 Hopfian 有限表现群（Baumslag–Solitar 型）已知；「非 Hopfian 群的最小表现复杂度」「与双曲性的相容边界」未明。

哪些群的共轭问题（判定两元素共轭）可判定？双曲群？广义双曲群？

现状双曲群共轭问题可判定（Gromov–Delzant），广义双曲部分成立；一关系群（见 04）与「自动机群」的情形开。共轭可判定性与「共轭增长」「扭转不变量」的联系是活跃前沿。

两个群的增长函数等价（相差常数因子）的代数刻画？同一群的不同生成集给出「等价类」的内部结构？

现状拟等距不变量理论给出上界方向的框架（Gromov 度量），但「增长函数的等价类到底是多细的等价关系」未明；格里戈丘克群的生成集敏感性（Bartholdi–Erschler）显示类的复杂性。

由有限自动机生成的群（automaton/self-similar groups）中，周期群的结构如何？是否有限生成的周期自动化群必有限？

现状自动化群涵盖格里戈丘克型怪物（中间增长、周期、无限）；「周期 + 自动化 ⇒ 有限？」对初等可逆自动机已有部分结果，一般情形开。它与 cellular automata 的可逆性理论交织。

给定群的阶与单群因子，不可约特征标的个数与次数谱的「自足公式」存在吗（不诉诸 CFSG 全表）？

现状Wigner–Brauer 型理论与 Lie 型群的 Deligne–Lusztig 理论覆盖大头；「散在单群」「交错群的 n 依赖公式」仍依赖逐群计算。统一公式（如果存在）将反哺 many counting problems（见数论分册 Malle 猜想）。

哪些群可以嵌入扭结群（3-空间补空间的基群）？扭结群何时剩余有限？

现状3 流形群已被几何化理论大幅驯服（virtually RFRS、virtually 特殊等），但「扭结群剩余有限」对每个具体扭结仍需逐一证明（数论扭结、双曲扭结已知）。一般「哪些群出现为补群」通过几何化已知为「双曲 + 塞弗特 + 复合」三分，但群论侧的显式刻画未完成。

辫群 B_n 的自同构、同态与「表示刚性」的分类完成了吗？Artin 群的线性性？

现状B_n 线性（Bigelow–Krammer 2001）、自同构已分类；但 Artin 群（Coxeter 群的辫化）的线性性是大规模开放问题（「所有 Artin 群都线性吗」连 B(m,n,m) 型都难）。

曲面的映射类群何时满足「残余有限增长多项式型」？其子群的分离性质谱？

现状大查询（Agol–Groves–Manning 的 virtual Haken/Haken 纲领）解决了 virtual 方向；「残余有限增长函数的精确形状」（最近有人构造出超多项式的界）与子群分离的完整图景仍开。

每个群都可作为某独异点的单位群（平凡）；作为「可数表现独异点的单位群」「带有特定呈现复杂度的独异点的单位群」的谱是什么？

现状「每个可数群都是双循环独异点的单位群的商」类构造存在；「极小呈现独异点 ⇒ 群类」的精确谱未明。它是半群理论的入口问题（详见半群分册）。

有限生成的周期半群何时局部有限？「局部有限 ⇔ 无自由子半群」的判据？

现状半群的伯恩赛德问题（Shevrin–Volkov 纲领）部分解决：周期半群有理想链；「局部有限性」的生成元—指数判据与群情形（Zelmanov）不同构，剩余部分（如「幂等生成 + 周期 ⇒ 局部有限？」）开。

对每个群 G，其 K-理论与 L-理论的同调计算（等变装配 map）是同构（远端与家族版）。

现状对双曲群、CAT(0) 群的大类、格子在许多情形已证（Bartels–Lück–Reich 系）；一般群未证。它是「代数 K 理论的群论计算引擎」，大量 Topology 定理以它为条件。

单连通流形的高阶 signaure 特征类（Higher ℓ-classes）沿万有覆盖是单射——等价地，双曲流形的 Novikov 猜想。

现状群论条件版：群有有界几何且满足粗 Baum–Connes ⇒ Novikov。粗 Baum–Connes 猜想对 broad 类成立但出现已知反例候选（Gromov 怪物的扩张）。「哪个群类是安全区」是算子代数—群论的共同边界。

是否存在非 sofic 群？sofic 群类的闭包性质（极限群、超积）的完整图景？

现状Gromov 1999 年提出 sofic 概念（V. Pestov 的命名）以来，「所有群都 sofic」是许多条件定理的默认假设；2020 年代出现若干「可能反例」的候选构造（如某些跳线群的超积），均未确证。这是当代群论最大的「二选一」悬案之一。

何时两个群的粗几何（大尺度几何）等价？粗等价类的代数不变量刻画？

现状拟等距不变量（增长、端数、边界）大量已知，但「粗等价 ⇒ 几何等价」的逆命题失败区（Whyte 的可膨胀性、Shalom 的调和分析）未系统化。粗几何分类学仍在积累「不变量工具箱」。

随机生成的群的「几乎必然性质」的完整清单（平凡性、简单性、可判定性、增长）？

现状Gromov 密度模型给出大量「以指数 1 概率」结果（简单、非顺从、C'(1/6)）；「不同模型（小消减、随机图模型）之间的等价性」与「随机群的剩余有限性」未明。

自由群中两元素是否自同等价（存在自同构互化）——Whitehead 算法是最优的吗？其复杂度能否改进到多项式？

现状Whitehead 峰化算法判定可行；其复杂度上界是指数级（Myasnikov–Osin 等），多项式算法的寻找与「Whitehead 图的几何」是算法群论的活跃点。

无限群论中「Abel 群的 Prüfer 秩」类不变量对非交换群的推广谱系（Kurosh 秩问题）？

现状库洛什秩问题在自由积方向已解决（库洛什定理），但「可数群分解为不可分解因子的唯一性」在一般情形失败（存在病态分解）；失败的边界刻画是无限群论的持续项目。

格罗莫夫晚年提出的「用多项式环上的模理论重新解释群论」纲领（如「群的谱」与「表示的连续族」）能否落地为可计算的理论？

现状这更多是愿景而非具体猜想；相关落地尝试（如 L²-方法、非交换朗兰兹的群论侧）零散。作为「群论的下一个大统一」的候选方向列此存照。

图同构问题的群论内核（若尔当型阻挡）能否彻底消除，给出 P 算法？

现状Babai 准多项式算法的核心是置换群的若尔当定理阻断结构；下一步要么改进群论算法（「深层若尔当消除」），要么证明 GI 不在 P。两个方向的困难都落在置换群表示论。

剩余有限、sofic、线性、双曲、顺从、初等 amenable、amenable——这些群类之间的包含关系图，哪些包含严格、哪些等价、哪些独立？

现状大量「严格包含」已有构造（Osin、Olshanskii、Ershov 的怪物工厂），但「顺从 ⊂ sofic 是否严格」「双曲群全部 sofic？」等关键格未定。这张地图是当代无限群论的活地图。