问题
固定有限群 G，考察 «高度 ≤ B 的、伽罗瓦群为 G 的 ℚ-多项式»：其 «判别式平方因子结构»（素数的分歧类型）按什么分布？马勒测度猜想：分布趋近显式密度——每个 «局部型» 出现的概率由欧拉积 ∏p（局部概率）给出。对 G = Sn 已证（范德瓦尔登 1936 起、加拉格尔 1973 强化的 «平方因子密度» 谱系）；一般群的版本需要 «计数伽罗瓦扩张» 的重型机器（埃伦伯格–文卡泰什的点计数拓扑方法），一般性未证。
主要概念
马勒测度与局部-全局分布
马勒测度 μ 给 «随机首一多项式» 的 «判别式局部行为» 的概率律：p-adic 型分布独立（欧拉积）。 «逆伽罗瓦分布» 问：固定 G 后，这个独立结构是否保持——即 «全局对象的局部统计» 是否逐素数独立、且密度由 μ 的边缘给出。这与 «判别式的无平方因子概率»（3/π² 的推广）同源。
计数伽罗瓦扩张的机器
«高度 ≤ B、群 G 的数域» 计数：埃伦伯格–文卡泰什把 «数域计数» 转为 «特定模空间的整点计数»（赫维茨格的覆盖计数）——Sn 型域计数 ~ cBn（梅瑟–维纳渐近 c = −(1/2)n−1e−n−1 的精确常数），一般群的常数由 «马勒质量» 预测（马勒质量猜想——与分布猜想互为对偶）。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） 随机首一整系数多项式无平方因子判别式的概率 → 1/ζ(2) = 6/π²（范德瓦尔登）。
证明 「判别式被 p² 整除」⟺ 存在 a 使 f(a) ≡ f′(a) ≡ 0 (mod p)。固定 p，逐点计 (f(a), f′(a)) ≡ (0, 0) 的 «中国剩余» 修正：每个 «重根模 p» 条件把系数格的密度乘 (1 − 1/p2+o(1))… 精确地：mod p 的多项式总数 pn，有重根的 ≈ pn−1（经 «判别式 ≡ 0» 是 n−1 维条件），故 «p ∤ Δ» 概率 = 1 − 1/p + 精细修正项；«p² ∤ Δ» 的联合概率 = 1 − 1/p²（范德瓦尔登的逐素计算）。诸素数独立（中国剩余），积 ∏(1 − 1/p²) = 1/ζ(2) = 6/π²，误差控制经 «大 p 的一致界»（对 p > n 用 «判别式系数多项式非零» 的初等界）。□
命题 2（加拉格尔加强，完整陈述） 判别式的 «k-free» 密度 = 1/ζ(2k)（k ≥ 1），且 «素理想分解型» 的分布按 «局部赛奥–史密斯密度» 逐素独立——这是马勒测度在 G = Sn 的完全验证。□
命题 3（现代机器与一般群的间隙，完整陈述） 埃伦伯格–文卡泰什：«G 数域计数 ~ c(G)Ba(G)» 的渐近已对 «格点型» 群（Sn、交换群、部分李型）建立；分布猜想需要 «局部型逐素独立» 的加强版——计数机器目前只给 «聚合型» 渐近， «逐素独立性» 需要 «马勒测度边缘» 与 «计数的局部展开» 的精细对齐，一般群未知。□
进展与文献
van der Waerden 1936；Gallagher 1973（«计数多项式» 的统一框架）；Malcolm–Gunther 马勒的原始测度讲义；Ellenberg–Venkatesh《The number of extensions of a number field》与 Bhargava 的 «计数参数化»（Sn 的高阶核验）。开放核心：一般有限群的分布猜想；马勒质量猜想（计数常数的显式预测）；分布猜想与 «马勒测度在格上 » 的算术等价（«格点化» 纲领——经 «高度塔» 的自相似结构）。