问题
给定 Fm 中两个字 u, v（长度 ≤ n），判定是否存在 α ∈ Aut(Fm) 使 α(u) = v。Whitehead 1936 的峰化算法给出可判定性；但复杂度上界是指数级。问题：①Whitehead 算法是否最优；②多项式算法（或至少 n, m 的双多项式）是否存在。
主要概念
Whitehead 峰化
关键观测：若 α(u) 是 «最短» 元素（在 Aut 轨道中长度最小），则任何 «峰化» 白头移动（对每个生成元 a：⟨a⟩ 或 ⟨a⁻¹⟩ 的 «乘积替换»）不会降低长度。峰化移动有限多种（≤ (2m)(2m−1) 型），故 «局部峰化 + 全局最短» 的搜索收敛。
Whitehead 图
顶点 = 轨道中的最短元素，边 = Whitehead 移动。图的连通性给出 «所有最短元素» 的遍历；图的几何（几步跳跃、对称性）决定算法效率。Myasnikov–Osin 等给出图的 «直径与分支» 分析，产生指数上界的精确化。
主要命题与证明
命题 1（Whitehead 峰化引理，完整骨架） 若 u 是 Aut-轨道最短元，则任何峰化移动都不缩短它。骨架：反设某峰化移动 φ 使 |φ(u)| < |u|；用 «Circular factorization»（沿 φ 的 «反向» 把 u 分解为 «峰化因子» 的乘积）——u 在 Fm/[F,F] 的像与 «峰化曲率» 的不等式给出矛盾。□
命题 2（可判定性，完整骨架） 算法：①对 u 跑峰化归约到最短元 u′（≤ 多项式次移动）；②同对 v；③枚举 Whitehead 图中从 u′ 出发的所有最短元，查 v′ 是否在内（图的规模 ≤ (2m)|u′|，指数）。正确性由命题 1（最短元集合恰是峰化移动的轨道闭包）。□
命题 3（复杂度现状，诚实清单） ①m 固定时：算法 O(nm+…) 型（m 的多项式、n 的指数）——实际上 Whitehead 图的直径对固定 m 有多项式界（经 «峰化曲率» 分析），算法实际表现近似多项式；②m 变动时：已知下界（«某些输入需要指数步» 的构造）由 Myasnikov–Ushakov 给出；③多项式算法的候选路线：Whitehead 图的 «快速遍历»（经 Out(Fm) 的 Culler–Vogtmann Outer space 几何）、Aut 的 Nielsen 移动的 «自动结构» 化。□
进展与文献
Whitehead 1936 原始论文；Lyndon–Schupp《Combinatorial Group Theory》第 I 章的教科书处理；Myasnikov–Nikolov–Shpilrain 的复杂度分析；Myasnikov–Ushakov 的指数下界；Kapovich–Myasnikov–Schupp–Shpilrain 的 «generic case complexity»（Whitehead 在 «一般输入» 上是多项式快—— «平均情形快» 与 «最坏情形指数» 的现代分工）。开放核心：一般情形的多项式化，以及 «排除性证据» 是否指向 GI 型难度。