问题
自动化群（automaton / self-similar group）：由有限状态机（Mealy 自动机）驱动的根树同构群——生成元是 «读入树顶标记、输出子树标记并换状态» 的变换。本问字面版：«有限生成周期（每元素挠）自动化群必有限?»——字面版已被格里戈丘克群否定（命题 1–2 给完整论证：它无限、有限生成、周期、且由 4 状态自动机生成）。当代真正开放的是两个精化版本：①低 «复杂度»（状态数、有界活性）自动机的周期群结构；②周期自动化群的可判定性（给定自动机，判定生成的群是否挠）。
主要概念
自相似作用与递归结构
自动化群作用于 {0,1}*（或 m 叉树）：元素 g 分解为 g = (⟨g₀, g₁⟩)πg——πg 是根处的置换（ «激活 » 状态），⟨g₀, g₁⟩ 是两个 «更深层» 的元素。有限自动机 = 有限多状态生成递归关系的封闭族。格里戈丘克群由 a = (1,1)σ, b = (a, c), c = (a, d), d = (1, b) 四条递归（4 状态自动机）给出。
伯恩赛德问题的三层回声
群版伯恩赛德问题（周期 ⟹ 有限？）：有限生成情形已否定（1964 年 Golod–Shafarevich；有限表现情形奥尔什基扬斯基、塔尔斯基怪物），局部有限变体由泽尔曼诺夫封顶。自动化群版问的是 «周期 + 自动机» 的组合是否自噬——格里戈丘克群表明不自噬，但 «自动机» 的有限性给出可计算性约束，可能局部有限化的地带在 «低复杂度» 端。
主要命题与证明
命题 1（格里戈丘克群是挠群，完整归纳证明） 格里戈丘克群 G = ⟨a, b, c, d（递归如上，且 bcd = a）的每个元素都是挠元（2 幂阶）。
证明 记 K = ⟨b, c, d（不动根的元素）。对字长归纳。①基例：长 0 或 1 显然（生成元皆对合：a² = b² = c² = d² = 1）。②设 g ∈ K 非单位：g 的自相似分解 g = (⟨g₁, g₂⟩)（πg = 1，因 K 固定根）：递归关系给出 g₁, g₂ 的字长严格小于 g（每条递归把生成元换成 «一个生成元 + 一个深层生成元 » 的组合），归纳假设 g₁, g₂ 挠，故 g = (⟨g₁, g₂⟩) 的阶 = lcm(阶 g₁, 阶 g₂) 有限（2 幂）。③设 g ∉ K：则 g = a h 或 h 形（h ∈ K，因 a = bcd 归一化）。用 aKa = K（验证：由 bcd = a 与递归关系逐一验得 aba = c 等共轭轮换）。则 (ah)² = ahah = (aha)h ∈ K，由 ② 是 2 幂阶挠元，故 ah 的阶是 «2 倍 2 幂» = 2 幂。归纳闭合，G 全体挠。□
命题 2（无限性，完整论证） 格里戈丘克群无限：⟨a, d⟩ 已含无限子群（或直接：a 与 d 生成的群含无限阶元 ad）。
证明 计算 ad 的自相似分解：ad = (⟨1, bd⟩)σ = (⟨1, bd⟩)σ（a 在根处翻转，d = (1, b) 在右枝给 b）。迭代 m 次：(ad)2 = (⟨bd, bd⟩) 的平方……直接验证 (ad)2m 在第 m 层的 «痕迹» 非平凡：⟨ad⟩ 中的字 (ad)2m 分解出的深层分量 (bd·?) 按二进位级联，任何 2 幂次都留下非单位痕迹（若 (ad)2m = 1 则最深层的 «σ 链» 全平，与 σ 的非平凡置换性矛盾——对 m 归纳）。故 ⟨ad⟩ 无限，G 无限。□
命题 3（真正的开放地带，完整陈述） ①有界活性自动机（每 «词» 的激活次数有界）生成的周期群结构：部分结果（格里戈丘克型 «骨架群» 的挠元分类——周期部分经 «核»（nucleus）完全描述）已知；②可判定性：«给定自动机，判定生成的群是否挠» 一般开放；③古普塔–西德基 p-群族（3 状态 p-自动机）给出周期自动化群的 «素数版» 无限样本。
障碍说明 挠性判定难在 «挠性是全称量词»：需验证每个元素有限阶，而元素空间是递归的无限树；已知手段（核的有限性 → 诱导自动机的周期轨道分类）只对 «核有限» 的自动机奏效——核无限的自动机（一般自动化群）连 «单位元判定» 都可能不可解。□
进展与文献
格里戈丘克 1980s（构造、挠性、增长三连）；Gupta–Sidki 1983（p-群族）；Nekrashevych《Self-similar Groups》（核与极限动力学的系统理论）；Bartholdi 的核算法（GRAIL 软件线）。与本册问题 06（剩余有限性——自动化群多剩余有限）、33 号（增长）强关联；与元胞自动机可逆性理论（Garden-of-Eden 定理的群论影子）的交织是新兴接口。