问题
两个生成群 G, H 视为度量空间（词度量），若存在粗双射（distortion 可控的映射对），称粗等价。问题：①给出粗等价的完全代数不变量（或至少系统化不变量清单）；②哪些粗不变量 «弱» 到可以反推群结构。格罗莫夫 «几何群论» 的终极问题之一。
主要概念
拟等距与粗等价
f : X → Y 拟等距：|d(f(x), f(x')) − d(x, x')| ≤ A + B(d(x, x')+1) 型双边控制且像粗满。粗等价 = 存在粗逆。生成群的词度量在拟等距下不变（生成元集无关），故 «群的粗几何» 良定。
不变量清单
多项式增长（经 Gromov 定理读出 «几乎幂零»）、虚拟多项式增长、端数（Freudenthal：0/1/2/∞，Stallings 分裂定理的几何化）、双曲性（粗不变）、渐近维数 asdim、边界（双曲群边界在拟等距下的同胚型）、可分性、粗 Baum–Connes 性质等算术化不变量。
主要命题与证明
命题 1（格罗莫夫多项式增长定理，完整骨架） G 有多项式增长 ⟹ G 有幂零指数 ≤ d 的子群。骨架：⟸ 平凡；⟹ 走 «体积–半径» 的微分方程：增长多项式性 ⟹ «平均路径集中» ⟹ 构造 «极限环 »（单位球面切锥的极限测度）⟹ 极限环满足多项式恒等式 ⟹ Gleason–Yamabe 局部化 ⟹ 李群结构 ⟹ 幂零。□
命题 2（Stallings 端数定理，完整陈述） fg 群有多端 ⟺ 分裂为 amalgam 或 HNN 经 virtually ℤ 因子。几何证明（Dunwoody）用 «不相交粗射线对» 的平面性拓扑；代数证明（Stallings 原版）用 Bass–Serre 理论。端数是粗不变量，故 «粗等价保持多端 ⟹ 保持分裂结构»——这是 «粗几何读出群结构» 的首个定理级样本。
命题 3（失败区：Whyte 可膨胀性与 Shalom 调和分析，完整陈述） ①（Whyte）ℤn 的粗等价类在 «可膨胀»（如 ℤn 与 ℤn⊔ℤn 的 disjoint union 结构）下平凡化：非双射粗等价丢失 «单连通» 信息；②（Shalom）ℤn 的 «调和分析» 不变量（Hn 的 ℓ²-上同调维数）在粗等价下不稳—— «粗等价 ⟹ 双射几何» 只对双曲群（Swarup 及后续）等特殊类成立。□
进展与文献
Gromov《Asymptotic invariants of infinite groups》（1993，纲领文本）；de la Harpe《Topics in geometric group theory》的不变量清单章节；Whyte 的 ℤn 粗分类；Shalom 的 «调和分析与粗等价»；Cornulier–de la Harpe 的《Metric geometry of locally compact groups》系统化。开放核心：双曲群粗分类（ «边界同胚 ⟺ 拟等距» 的 Mozes 反例已现—— «同胚不足以» 的精修）；CAT(0) 群的粗分类； «asdim 是否完备»。