问题
剩余有限（residually finite）指：任何非单位元都能被某个到有限群的满同态 «看见»。问题：有限生成 + 剩余有限 + 指数有界，三者叠加是否强制有限？答案：是——这是泽尔曼诺夫限制伯恩赛德定理的直接推论（命题 1）。真正开放的是 «残余的精细版»：指数无界但 «每个元素的阶有限» 的剩余有限群可以无穷（格里戈丘克怪物），那么再加什么条件才闭合？
主要概念
剩余有限性与马采夫定理
剩余有限 ⟺ 群嵌入其有限商的逆极限（profinite 完成的单射）。马采夫定理：有限生成的线性群（某域上）必剩余有限——这把 «线性 + 周期» 的世界全部纳入伯恩赛德框架。
限制伯恩赛德对象 R(m,n)
«m-生成、指数 n» 群范畴的最大剩余有限对象 R(m,n)：它是所有此类有限群的 «极限»。泽尔曼诺夫定理即 R(m,n) 有限。
主要命题与证明
命题 1（完整推导） 有限生成的、剩余有限的、指数 n 的群必有限。
证明 设 G 如此，由 m 个生成元生成。剩余有限性使 G 嵌入其有限商的直积，而每个有限商都是 «m-生成、指数 n» 的有限群——由限制伯恩赛德定理，这些商的阶一致有界（≤ C(m,n)）。于是 G 嵌入阶 ≤ C 的有限群的直积中且自身是 m-生成指数-n 群的极限——精确地：G 的像在直积中由 m 个元素生成，而 «m-生成子群» 的阶 ≤ Cm·（一致界的标准论证）：更直接地，G 作为 m-生成指数-n 群是 R(m,n) 的像，而 R(m,n) 有限，故 G 有限。□
命题 2（马采夫定理，完整证明骨架） 域上有限生成的矩阵群必剩余有限。
骨架 把生成矩阵的 «表项» 生成的环 → 商到有限域：若矩阵群 ℤ-生成（系数为整数环上多项式）则模 p 约化直接给有限商且对一般位置的 p 分离任何给定非单位元（«好的素数» 无穷多）。系数含分式时先清分母（放大到 ℤ[1/N] 再模 p，p ∤ N）。分离性的关键：有限生成的 «矩阵字» 是表项的非零多项式函数，非零多项式不能在所有素数处为零。□
命题 3（反向边界，完整陈述） 去掉 «指数有界» 后结论失效：格里戈丘克群（1984）是有限生成的、无限的、周期群且剩余有限——它是两个自同构的固定点群（树自同构），无限、每个元素阶为 2 的幂、剩余有限（有限商族 ⟨a, b, c, d2n⟩ 分离元素）。故 «周期 + 剩余有限» 不足以有限；指数的一致性才是泽尔曼诺夫定理的不可去假设。□
进展与文献
Zelmanov《On the restricted Burnside problem》(Fields Medal Lecture, 1994)；Grigorchuk 1984 原始构造（亦见问题 10 与 34 的分册综述）；Kourovka Notebook 问题 14.36 系。当前残余前沿：«剩余有限 + 周期 + 附加几何条件（双曲？CAT(0)？）⟹ 有限？»——双曲周期群有限（小消去推论）已知，CAT(0) 情形开；以及 «周期线性群 ⟹ 有限»——两步合成：马采夫给 «线性 + fg ⟹ 剩余有限»，舒尔定理给 «周期线性群局部有限»（fg 者即有限）；开放的是放弃 «线性» 后的无挠地带。