问题
格罗莫夫晚年（2000s 后期）在《Spaces and questions》《Structures, learning and ergosystems》等纲领文本中提出：群论的不变量应当 «代数几何化»——把 «群的不变量» 解释为 «多项式环上的模»，把 «表示的连续族» 解释为 «谱»，从而把 «群的分类» 纳入 «代数簇的谱理论» 范式。这不是具体猜想，而是愿景：能否落地为可计算的理论？
主要概念
「群的谱」设想
对群 G，其 «不变量空间»（如有限维表示的特征标锥、L²-贝蒂函数、增长级数）在格罗莫夫设想中应组织为 «某个代数几何对象的谱»—— «谱点» 对应 «极端不变量»、 «谱的拓扑» 对应 «群的结构». 已知的最接近实体：特征标簇 X(G)（Rep(G) 的 GIT 商）—— «群表示的代数几何» 的已建立理论。
两个已落地的邻域
①L²-方法：冯·诺依曼代数的 «量纲» 已把 «群的不变量» 数值化（b(2)、Fuglede–Kadison 行列式）；②非交换朗兰兹的群论侧：Aut/Fn 的 «表示论» 与 Out 的 «代数结构» 已有完整代数几何化（Culler–Vogtmann Outer space 的 «模空间» 解释）。两邻域都是 «谱化» 的部分成功。
主要命题与证明
命题 1（特征标簇的谱化样本，完整计算） G = ℤ² 的特征标簇 X(ℤ²) = (ℂ*)²—— «谱» 是复环面；G = F2 的特征标簇是 SL₂(ℂ)² 的 GIT 商（Fricke–Klein 空间），维数 3 的 «不可约 locus» 是代数曲面的开子集。□
命题 2（Fuglede–Kadison 行列式的可计算样本，完整陈述） G = ℤ，A = t − 2（ℂ[ℤ] 中的 «多项式»）：FK 行列式 det𝒩(A) = exp(∫₀¹ log|e2πiθ − 2|dθ) = 2（Jensen 公式的直接应用）—— «群的谱不变量» 在 ℤ 情形完全初等可算。一般群：FK 行列式的 «正性» 与 «零点» 是 ℓ²-理论的活跃问题（Lück 的行列式猜想）。□
命题 3（纲领评估，诚实盘点） ①«代数几何化» 已建立的部分：特征标簇、Outer space、 ℓ²-行列式——都是 «局部成功»；②«大统一» 未实现：«群的不变量 ⟹ 某个单一模理论» 的全局框架无候选；③«可计算性» 缺口：多数 «谱不变量»（FK 行列式一般情形、 b(2) 的一般计算）算法上不可判定或无算法。结论：作为 «存照» 的纲领，其价值在于 «指出不变量空间的代数几何结构» 的视角——落地为 «下一个大统一» 的可能性目前无法评估。□
进展与文献
Gromov《Spaces and questions》（2000）、《Structures, learning and ergosystems》草稿；Lück《L²-invariants》的 «行列式» 部分；Lubotzky 的 «特征标簇与表示 » ；Alexeev–Brion–... 的 «表示的代数几何 » 系列。开放核心： «谱化» 是否有非平凡的新不变量（超出特征标簇与 ℓ² 的已知总和）。