问题
群 G 线性：存在域 k 与 n 使 G 忠实嵌入 GL(n, k)。本问两翼：①哪些有限生成群线性（正问题）；②线性群的生成增长有何统一律，增长性质能否反推线性性（反问题）。
主要概念
线性群的世界样本
自由群（萨诺夫二维嵌入）、虚辫群、map 类群的多数子群、三流形群（几何化推论，命题 3）皆线性；非线性样本：鲍姆斯拉格–所利塔群 BS(2,3)（非剩余有限而线性群剩余有限——马采夫，排除法），以及某些挠群。线性性不是拟等距不变量（有拟等距的一对群一线性一非线性）。
蒂茨抉择
蒂茨抉择（Tits alternative）：有限生成的线性群要么含秩 2 自由子群，要么虚可解（存在有限指数可解子群）。它是 «自由与可解二分» 的范式定理，几十年来被复制到各种群类（双曲群、Out(𝔽n)、映射类群……），每个 «抉择定理 » 都致敬蒂茨。
主要命题与证明
命题 1（蒂茨抉择，完整骨架） 有限生成域 k 上的线性群（k 任意）要么含离散自由子群 ⟨a, b⟩ ≅ F₂，要么有有限指数的可解子群。
骨架 ①约化：先转到有限指数的 «代数化» 子群（特征 p 时经替代表示入 GL(n, 𝔽p(t))，特征 0 时用对数映射的«近李代数 » 结构），使元素可分解为半单与幂零部分。②若某幂零元非平凡，柯尔钦定理把 «全部元素近幂零 » 的子群装进上三角宇宙——虚可解；③若无幂零元，取两个 «斜率 » 充分不相称的半单元 a, b（斜率 = 特征值的对数模），ping-pong 引理在 «斜率极端 » 的两个锥域上给出自由作用：⟨a, b⟩ ≅ F₂。ping-pong 的锥域由 «大斜率者吞并投影 » 的不等式显式给出，容差由斜率比 eΔ（Δ 取足够大）吸收。□
命题 2（线性群的一致指数增长，严格梗概） （布罗伊拉德）存在普适常数 λ > 0：任何有限生成非虚幂零线性群（对任意域、任意维数），其增长满足 |B(n)| ≥ eλn 对充分大 n——增长指数有一致下界。
梗概 策略＝«蒂茨抉择的一致化»：自由情形用 «拼装»（取生成元的固定短字组逐层复制，拼装字两两不同由 ping-pong 保证，复制层数即指数）；可解情形幂零部分多项式增长、剩余部分给出指数。难处在 «混合体 »（半单与幂零交错）的统一拼装——布罗伊拉德用 «增长间隙 »（非虚幂零线性群的均匀指数增长间隙，Eskin–Mozes–Oh 先声）+ 有限歧变分类完成。□
命题 3（三流形群全部线性，严格梗概） 紧致三流形的基本群都线性（几何化定理 + 虚特珠性的推论）。这是 «正问题» 的最大成功案例。
梗概 ①八种几何逐一给出线性模型：球与 ℍ³ 型经 PSL(2,ℂ)、𝔼³、Nil、Sol̃、SL̃₂ 等各有矩阵实现；②一般紧三流形沿几何分解（雅可比–沙伦–约翰森切割）拼装，拼装用 «几乎纤维化 » 结构；③关键最后一步：双曲块经阿戈尔的虚特珠性（虚 Haken ⟹ 虚纤维化 ⟹ 虚 RFRS）给出到 RAAG（直角阿廷群）的虚嵌入，而 RAAG 线性——虚线性 + 有限指数提升 = 线性。□
进展与文献
Tits 1972 原始论文（含特征 p 的替换论证）；Eskin–Mozes–Oh 1996（均匀指数增长的先声）；Breuillard《A strong Tits alternative》（一致版）；Aschenbrenner–Friedl–Wilton《3-manifold groups》（命题 3 的全景综述）；Shalom 的调和分析路线（从增长性质反推 «作用结构» 的尝试）。反向问题（«多项式增长 ⟹ 虚幂零» 已由格罗莫夫–蒂茨联合封顶，但 «次指数增长 ⟹ ?» 的线性侧推论零星）是本问的荒芜地带；与本册问题 06（剩余有限性）、33 号（增长等价）构成三角。