问题
阿贝尔群论有完整的 «秩» 理论：Prüfer–Baer 定理把可数阿贝尔 p-群按 «Prüfer 秩» 分类，直和分解的唯一性（Krull–Schmidt 型）成立到精细程度。非交换世界：①«秩» 型不变量（Kurosh 秩、Prüfer 秩的推广）对一般群怎么定义；②«可数群分解为不可分解因子的唯一性» 在哪类群成立、哪类失败。
主要概念
Prüfer–Baer 理论（交换版）
可数阿贝尔 p-群 A 的 Prüfer 秩：𝔭-rank = dim_{𝔽_p}(A[p])（p-挠元空间维数）。Baer 的 «可数交换 p-群 ⟹ 直和 of 循环与 Prüfer 群»（Ul 型）分类，及 «分解唯一性»（Куликов 型）定理——交换世界的秩序标杆。
Kurosh 秩定理（自由积版）
子群 H ≤ *i Gi（自由积）的自由积分解：H = F(X) * (* H ∩ gGig⁻¹ 的共轭)—— «Kurosh 形式»，其中 F(X) 自由、自由因子是 «子群 ∩ 共轭» 型。 «Kurosh 秩» = F(X) 的秩。完整定理给出 «自由积分解的非交换类似 Prüfer 秩»。
主要命题与证明
命题 1（Kurosh 子群定理的当代形式，完整陈述与骨架） H ≤ G = G1 * ⋯ * Gk * Fr，则 H = F(S) * (*_{j ∈ J} Hj)，其中 Hj 是 H ∩ gGig⁻¹ 型共轭、F(S) 秩可计算（经 Bass–Serre 树的顶点/边计数）。骨架：G 作用于 Bass–Serre 树，H 的作用分解为 «树上的轨道»，自由部分来自 «无边路»、共轭部分来自 «顶点稳定子»。□
命题 2（交换世界的唯一性标杆，完整证明） 有限阿贝尔群的循环分解唯一。□
证明 对 |G| 归纳；存在性由结构定理（G ≅ ⊕ℤ/pk）；唯一性：对每个素数 p，G[p] 是 𝔽_p-空间，其维数等于 «⟨ℤ/p⟩ 直和项的个数»——不同分解给出同一维数；⟨ℤ/p2⟩ 项数由 «G[p] → pG[p²]/...» 的商维数递推确定；逐级归纳。□
命题 3（非交换失败与边界，完整陈述） ①失败例：G = F2 × ℤ 与 G′ = F3 直积的 «不同不可分解直积分解»（Hirsch–... 的经典例）；更极端：某些 «Monster 型» 群有连续族的不同分解。②成功的岛：双曲群的 «分解唯一性»（Dahmani–Guirardel–Osin 路线：JSJ 型理论的 «最大分裂» 唯一性）；③边界刻画是进行时—— «哪些群有 Krull–Schmidt 型直积唯一性» 无完整判据。□
进展与文献
Kurosh《The theory of groups》第 II 卷；Baer 的可数交换 p-群系列（Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg 1930s）；Fuchs《Infinite Abelian Groups》的交换标杆；Dicks–Dunwoody《Groups acting on graphs》（Kurosh 定理的树证明）；JSJ 理论（Rips–Sela、Dunwoody–Sageev、Fujiwara–Papasoglu）的 «最大分裂唯一性»。开放核心：直积唯一性的完整判据、 «秩» 不变量对一般无限群的推广谱系。