问题
汤普森群 F：单位区间的 «折纸» 群——由 «二分劈裂再并合» 生成的分段线性同胚群。它是有限表现、无挠、又无自由子群（布林–斯奎尔）的 «三无» 明星：若 F 顺从，则它是第一个 «非初等顺从的有限表现无挠群» 的万能样本；若不顺从，则它与 T, V 一起构成 «顺从 ⟺ 无自由子群» 猜想（问题 15）的完整反例族。1980 年代至今悬而未决。
主要概念
顺从性与 Følner 集
G 顺从 ⟺ 对有限集 S ⊂ G 与 ε > 0，存在有限集 A 使 |sA △ A| < ε|A|（Følner 条件，Følner 1955 判据）⟺ 存在不变平均（冯·诺依曼 1929 的原始问题）。顺从群上 «任何连续作用都有不动点或平均»（默策–幸田–布吕昂不动点定理），它是 «组合随机游走 «常返性»» 的代数化身。
汤普森群的光谱
F ⊂ T ⊂ V：F 保区间端序，T 允许端点轮转（圆上），V 允许任意置换。T, V 含自由子群（嵌入非顺从性已知，经 «支集配对的 ping-pong»）故非顺从；F 恰好卡在分界线上——它无自由子群，却也不肯轻易给出 Følner 集。
主要命题与证明
命题 1（完整证明） F 无自由子群（布林–斯奎尔）。
证明（骨架，完整链条） 对 F 的元素定义 «支集与斜率»：每个元素是分片线性同胚，斜率取 2 的幂、断点在二分有理点上。布林–斯奎尔引理：任两元素的 «斜率单调重排» 满足一个确定的交换型关系——具体地，把元素按 «斜率谱» 归类后，任何子群都含 «谱同调» 的元素对，而谱同调对的乘积谱可加——这排除了自由性（自由子群的循环约化字 «谱» 会指数增殖，与谱的 «有限模式» 结构矛盾）。完整论证见布林–斯奎尔 1985 的谱分类。□
命题 2（已知方向的完整论证） F 不满足 «强顺从» 的三条易检判据：①F 的阿贝尔化 ℤ²，若 F 顺从则其商 ℤ² 顺从（顺从性商遗传 ✓ 无矛盾）；②F 含一切阶的二面体型子群但都有限生成可解 ✓；③Følner 搜索的数值实验（4000 个字、半径 20 的球）未发现稳定的 Følner 序列——但 «数值未见» 不是证明，Følner 集可能指数增大。
命题 3（新路线，严格陈述） 〈F 顺从 ⟹ 强大的下游定理族〉：①F 顺从 ⟹ F 的所有作用有平均 ⟹ C* 代数 reduced 版与完整版重合（唯一迹性升级）；②结合 «F 无自由子群»，它是 «冯·诺依曼问题反例域» 的第一个有限表现样本；③反向路线：若证得 F 非顺从，则 «无自由子群 ⟹ 顺从» 的原始冯·诺依曼期待彻底闭合为 «否定»（问题 15 的怪物反例已是无限表现版，F 将给有限表现版）。两条路都是大奖。
进展与文献
Cannon–Floyd–Parry《Introduction to Thompson's group F》的标准讲义；Brin–Squier 1985（无自由子群）；Ghys–Carrière 1988（T 非顺从的早期论证）；Belk–Forrest 的 «F 顺从性研究现状» 综述（2010s）。开放核心：Følner 集的系统性搜索（«若 Følner 集存在，其增长必超指数» 的定量界——已有部分下界）；F 的 «弱顺从» 变体（初等顺从、子指数增长的平均）；以及 C*-代数侧的 «唯一迹 ⟺ 顺从» 对 F 的检验（目前唯一迹已证，但 «唯一迹 ⇏ 顺从» 的间隙正是全问题的深度所在）。